8.5.3 第1课时 平面与平面平行的判定 （Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

8．5.3　平面与平面平行 第1课时　平面与平面平行的判定 [对应学生用书P86] 学习目标 1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理并能解决相关问题． 2．掌握线线、线面、面面平行间相互转化关系． 知识点　平面与平面平行的判定定理 如图，平面BCC1B1内有多少条直线与平面ABCD平行？这两个平面平行吗？ 文字 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α 图形 作用 线面平行⇒面面平行 判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件： (1)平面β内的两条相交直线a，b，即a⊂β，b⊂β，a∩b＝P. (2)两条相交直线a，b都与平面α平行，即a∥α，b∥α. [例1] 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，G为DD1上一点，且D1G∶GD＝1∶2，AC∩BD＝O.求证：平面AGO∥平面D1EF. 证明：如图，设EF∩BD＝H，连接D1H. 在△DD1H中，因为＝＝，所以GO∥D1H. 又GO⊄平面D1EF，D1H⊂平面D1EF， 所以GO∥平面D1EF. 在△BAO中，因为BE＝EA，BH＝HO，所以EH∥AO. 又AO⊄平面D1EF，EH⊂平面D1EF， 所以AO∥平面D1EF. 又GO∩AO＝O，所以平面AGO∥平面D1EF. 平面与平面平行的判定方法 (1)定义法：两个平面没有公共点． (2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面． (3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β. (4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. [练1] 如图，已知四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC. 证明：因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD， 所以MQ∥AD，NQ∥BP. 因为BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC， 所以NQ∥平面PBC. 又底面ABCD为平行四边形， 所以BC∥AD.所以MQ∥BC. 因为BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC， 所以MQ∥平面PBC. 又MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PBC. 综合应用：面面平行的应用 [例2] 已知底面是平行四边形的四棱锥P­ABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置． 解：如图，连接BD交AC于点O，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF. 因为BG∥OE，BG⊄平面AEC，OE⊂平面AEC， 所以BG∥平面AEC. 同理，GF∥平面AEC，又BG∩GF＝G，BG，GF⊂平面BGF. 所以平面BGF∥平面AEC，所以BF∥平面AEC. 因为BG∥OE，O是BD的中点，所以E是GD的中点． 又因为PE∶ED＝2∶1，所以G是PE的中点． 而GF∥CE，所以F为PC的中点． 综上，当点F是PC的中点时，BF∥平面AEC. 证明线面平行，既可以通过在平面内找到一条直线与已知直线平行进行证明，也可以通过证明面面平行来得到线面平行． [练2] 如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，4AA1＝3AB，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是棱B1C1，AC，BC的中点．证明：AD∥平面C1EF. 证明：连接BD. 因为E，F分别是棱AC，BC的中点，所以EF∥AB. 因为EF⊂平面C1EF，AB⊄平面C1EF，所以AB∥平面C1EF. 因为D，F分别是棱B1C1，BC的中点，所以BF∥C1D，BF＝C1D，所以四边形BDC1F是平行四边形，所以BD∥C1F. 因为C1F⊂平面C1EF，BD⊄平面C1EF，所以BD∥平面C1EF. 因为BD⊂平面ABD，AB⊂平面ABD，且AB∩BD＝B， 所以平面ABD∥平面C1EF. 因为AD⊂平面ABD，所以AD∥平面C1EF. 1．知识清单 平面与平面平行的判定定理 2．方法归纳：转化与化归． 3．常见误区：面面平行判定的条件考虑不全面． ◎随堂演练 1．在长方体ABCD­A′B′C′D′中，下列结论正确的是(　　) A．平面ABCD∥平面ABB′A′ B．平面ABCD∥平面ADD′A′ C．平面ABCD∥平面CDD′C′ D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′ 答案：D 2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或平行 B　解析：由正方体的性质可得平面AA1B1