8.5.1 直线与直线平行 （Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

8.5　空间直线、平面的平行 8．5.1　直线与直线平行 [对应学生用书P80] 学习目标 1.会判断空间两条直线的位置关系． 2．能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题． 知识点一　基本事实4 以长方体为载体，直线AA′与BB′平行，直线BB′与CC′平行，那么直线AA′与CC′平行吗？ 基本事实4 文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行. 符号语言：a∥b，b∥c⇒a∥c. 基本事实4是论证平行问题的主要依据．在基本事实4中，若把直线a，b，c的平行关系限制在同一平面内，则可看作是基本事实4的一种特殊情况． [例1] 如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点．求证：EE′∥FF′. 证明：因为E，E′分别是AB，A′B′的中点且AB∥A′B′， 所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′. 所以四边形EBB′E′是平行四边形． 所以EE′∥BB′.同理，可证FF′∥BB′. 所以EE′∥FF′. 证明空间两条直线平行的方法 (1)平面几何法：利用三角形的中位线、平行四边形的性质等． (2)定义法：用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点． (3)基本事实4：利用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，即可得到a∥c. [练1] 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AA1，CC1的中点．求证：BF∥ED1. 证明：取BB1的中点G，连接GC1，GE(图略). 因为F为CC1的中点，所以BG綉C1F， 所以四边形BGC1F为平行四边形，所以BF∥GC1. 又因为EG綉A1B1，A1B1綉C1D1，所以EG綉C1D1， 所以四边形EGC1D1为平行四边形， 所以ED1∥GC1，所以BF∥ED1. 知识点二　等角定理 在长方体ABCD­A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． [例2] 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，求证：∠BGC＝∠FD1E. 证明：因为F为BB1的中点，所以BF＝BB1. 因为G为DD1的中点，所以D1G＝DD1. 又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1G. 所以四边形D1GBF为平行四边形． 所以D1F∥GB.同理D1E∥GC. 所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同， 所以∠BGC＝∠FD1E. 证明两个角相等的方法 (1)利用等角定理． (2)利用三角形全等或相似． [练2] 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点． 求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形； (2)∠BMC＝∠B1M1C1. 证明：(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，所以AM綉A1M1.所以AMM1A1为平行四边形，所以MM1綉AA1. 又因为AA1綉BB1，所以MM1∥BB1，且MM1＝BB1. 所以四边形BB1M1M为平行四边形． (2)方法一　由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，所以B1M1∥BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，所以C1M1∥CM. 由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角，所以∠BMC＝∠B1M1C1. 方法二　由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，所以B1M1＝BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形， 所以C1M1＝CM. 又因为B1C1＝BC，所以△BCM≌△B1C1M1. 所以∠BMC＝∠B1M1C1. 综合应用：直线与直线平行的应用 [例3] 如图，四边形ABCD和四边形ABEF都是梯形，BC∥AD，BE∥FA且BC＝AD，BE＝FA，G，H分别为FA，FD的中点． (1)求证：四边形BCHG是平行四边形； (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ (1)证明：∵G，H分别为FA，FD的中点， ∴GH∥AD，GH＝AD. 又BC∥AD，BC＝AD，∴GH∥BC，且GH＝BC， ∴四边形BCHG是平行四边形． (2)解：∵BE∥FA，BE＝FA，G为FA的中点，∴BE∥FG，BE＝FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG，EF＝BG， 由(1)知CH∥BG，CH＝BG，∴CH∥EF，CH＝EF， ∴四边形CEFH为平行四边形，∴CE∥FH，即CE∥FD， ∴C，D，E，F四点共面． 通过直线与直线平行，结合基本事实4可以证明直线平行，由此可以判断点共面或判断图形的形状． [练3] 如