8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 [对应学生用书P68] 学习目标 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积的计算公式． 2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积． 知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积 观察下列几何体的侧面展开图： 　 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图各是什么图形？ 1．圆柱的表面积公式 S圆柱＝2πrl＋2πr2(r是底面半径，l是母线长). 2．圆锥的表面积公式 S圆锥＝πrl＋πr2(r是底面半径，l是母线长). 3．圆台的表面积公式 S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(r′，r分别是上、下底面半径，l是母线长). 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系 S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl. [例1] (1)已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，求这个圆锥的侧面积． (2)已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4.若圆台的母线长为10，求圆台的表面积． 解：(1)由题意，圆锥的母线长l＝2，底面半径为1， 所以圆锥的侧面积为π×1×2＝2π. (2)先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8. 故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π， S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π. 求圆柱、圆锥、圆台表面积的基本步骤 (1)先得到旋转体的平面展开图． (2)依次求出各个平面图形的面积． (3)将各平面图形的面积相加． [练1] 如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得到的旋转体的表面积． 解：过C点作CD⊥AB于点D.如图所示，△ABC以AB所在直线为轴旋转一周，得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，这两个圆锥的高的和为 AB＝5， 底面半径DC＝＝，故S表＝π·DC·(BC＋AC)＝π. [练2] 圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，求圆台的表面积． 解：设圆台的上底面周长为c cm. 由于扇环的圆心角是180°，则c＝π·SA＝2π×10， 解得SA＝20 cm. 同理可得SB＝40 cm.所以AB＝SB－SA＝20 cm. 所以S表＝S侧＋S上＋S下＝π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2). 故圆台的表面积为1 100π cm2. 知识点二　圆柱、圆锥、圆台的体积 1．V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高). 2．V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高). 3．V圆台＝πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高). (1)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系 V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh. (2)求圆台的体积也可转化为求圆锥的体积．根据台体的定义进行“补形”，还原为圆锥，采用“大圆锥”减去“小圆锥”的方法求圆台的体积． [例2] (1)已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，求该圆锥的体积． (2)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积． 解：(1)作出圆锥的轴截面，如图． 在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB.设圆锥的高为h，底面半径为r，则h＝r，PB＝r.由S侧＝π·r·PB＝16π，得r＝4，则h＝4.故圆锥的体积V＝Sh＝π. (2)用一个完全相同的几何体把原几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π. 求几何体体积的常用方法 (1)公式法：根据几何体的结构特征，确定底面积和高，代入体积公式直接求解． (2)分割法：将几何体分割成易求体积的几个部分，分别求体积，最后相加． (3)补形法：将几何体补成易求体积的几何体，求得体积后再减去． [注意]求旋转体的体积时，要注意准确作出轴截面，可求出几何体的高和底面积． [练3] 已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________. 答案：π　解析：设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π，所以r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π，所以l＝2，所以h＝，所以V＝π(12＋22＋1×2)×＝π. 知识点三　球的表面积和体积 下图是一个可随风摆动的球体型移动小屋，这个创意既节省了空间，又使房子与自然高度融合．在设计时工程师根据球的体积和表面积公式，就可给出房子的内部空间和制作材料的多少，从而确定报价． 1．球的体