7.2.2 复数的乘、除运算（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

7.2.2　复数的乘、除运算 [对应学生用书P49] 学习目标 1.掌握复数的乘法和除法运算法则． 2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 知识点一　复数乘法的运算法则与运算律 类比多项式的乘法，如何定义两复数的乘法呢？ 1．复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． 2．复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 常用结论 (1)虚数单位i乘方的周期性：i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i(i∈N＋). (2)(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)； (3)(1±i)2＝±2i； (4)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R). [例1] 计算下列各题． (1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. 解：(1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2＝1－i2＋4＋4i＋i2＝5＋4i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i ＝53＋21i＋2i＝53＋23i. 两个复数乘法运算的一般步骤 (1)首先按多项式的乘法展开； (2)再将i2换成－1； (3)最后进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． [练1] 计算： (1)(3＋i)(5＋4i)(－－i)； (2)(3＋4i)(3－4i)； (3)(1－i)2. 解：(1)(3＋i)(5＋4i)(－－i) ＝(11＋17i)(－－i)＝－i. (2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25. (3)(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i. 知识点二　复数除法的运算法则 类比实数的除法运算是乘法运算的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？ 复数的除法法则 (a＋bi)÷(c＋di)＝＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0). 对复数除法的两点说明 (1)实数化：分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似． (2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开． [例2] (1)已知复数z的共轭复数为，若(1－i)＝2i(i为虚数单位)，则z＝(　　) A．i B．－1＋i C．－1－i D．－i (2)计算：＋－. (1)C　解析：由已知可得＝＝＝－1＋i，则z＝－1－i.故选C. (2)解：原式＝＋－ ＝＋－ ＝8＋8－16i－16＝－16i. 1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式； (2)再将分子、分母同乘分母的共轭复数； (3)最后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．与除法有关的常用结论 ＝－i；＝i；＝－i. [练2] 若z＝4＋3i，则＝(　　) A．1 B．－1 C．＋i D．－i D　解析：因为z＝4＋3i，所以＝4－3i，|z|＝5，故＝－i. [练3] 计算：＝________． 答案：－2＋i　解析：＝＝＝－2＋i. 综合应用：在复数范围内解方程 [例3] 在复数范围内解方程x2＋4x＋6＝0. 解：(方法一)　因为x2＋4x＋6＝0， 所以(x＋2)2＝－2. 因为(i)2＝(－i)2＝－2， 所以x＋2＝i或x＋2＝－i， 即x＝－2＋i或x＝－2－i， 所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i. (方法二)　因为x2＋4x＋6＝0， 所以Δ＝42－4×6＝－8<0， 所以x＝＝－2±i. 在复数范围内，实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法 (1)求根公式法： ①当Δ≥0时，x＝； ②当Δ＜0时，x＝. (2)利用复数相等的定义求解，设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将其代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解． [练4] 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数). (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否是方程的根． 解：(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0. ∴解得∴b＝－2，c＝2. (2)将方程化为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边x2－2x＋2＝(1－i