7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

7.2　复数的四则运算 7．2.1　复数的加、减运算及其几何意义 [对应学生用书P47] 学习目标 1.结合实数的加、减运算法则，熟练掌握复数代数表示的加、减运算法则． 2．理解复数加法、减法运算的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题． 知识点一　复数的加、减运算 1．复数加法、减法的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则： (1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i． 2．复数加法的运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝z2＋z1； (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． [例1] (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________. (2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数．若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________. 答案：(1)－2－i　(2)　解析：(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i. (2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i， 所以解得x＝1，y＝0， 所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i， 所以|z1＋z2|＝. 复数加、减运算的思路 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减). [练1] －i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝________. 答案：－10i　解析：－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝1－2＋1－i－5i－3i－i＝－10i. [练2] 设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2. 解：因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i， 所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i， 所以所以 所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i. 知识点二　复数加、减运算的几何意义 我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？ 复数加、减运算的几何意义 复数加 法的几 何意义 复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数 复数减 法的几 何意义 复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数 复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则． [例2] 已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应复数－5－2i，－4＋5i，2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长． 解：如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点，所以有zM＝＝， 所以zD＝zA＋zC－zB＝1－7i. 因为对应复数zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i， 所以||＝|7＋2i|＝＝. 因为对应复数zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i， 所以||＝|5－12i|＝＝13. 故点D对应的复数是1－7i，AC与BD的长分别是和13. 用复数加、减运算的几何意义解题的技巧 (1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理． (2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． [练3] 设及分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，计算z1－z2，并在复平面内作出－. 解：z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i.－＝，如图所示． [练4] 设及分别与复数z1＝1＋3i及复数z2＝2＋i对应，计算z1＋z2，并在复平面内作出＋. 解：z1＋z2＝(1＋3i)＋(2＋i)＝(1＋2)＋(3＋1)i＝3＋4i. ＋即为以OZ1，OZ2为领边的平行四边形OZ1ZZ2的对角线OZ所对应的向量(如图). 综合应用：复数模的综合问题 [例3] 设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|. 解：(方法一)　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R). 由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2. 又∵(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2， ∴2ac＋2bd＝0. ∵|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d