7.1.1 数系的扩充和复数的概念（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

7．1　复数的概念 7．1.1　数系的扩充和复数的概念 [对应学生用书P42] 学习目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程． 2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念． 3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件． 知识点一　复数的有关概念 我们知道，方程x2＋1＝0在实数集中无解，联想到从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充数集，使这个方程有解吗？ 复数的有关概念 (1)定义：把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，且i2＝－1. (2)复数集：全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}． (3)复数的表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R).其中的a和b分别叫做复数z的实部与虚部． (1)i2＝－1；(2)a，b∈R. [例1] 已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于(　　) A．－3 B．3 C．－1 D．1 C　解析：复数z1＝1＋3i的实部为1，复数z2＝－1－ai的虚部为－a，则－a＝1，解得a＝－1. 在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，复数的虚部是b而不是bi. [练1] 若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为 ． 答案：1或－3　解析：由条件知a2－3＋2a＝0，解得a＝1或a＝－3. 知识点二　复数的分类 1．复数的分类 对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a＝0且b≠0时，它叫做纯虚数．复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以分类如下： 复数 2．复数分类的Venn图表示 [例2] 求当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i是(1)虚数；(2)纯虚数． 解：(1)复数z是虚数的充要条件是 解得m≠－3且m≠－2. ∴当m≠－3且m≠－2时，复数z是虚数． (2)复数z是纯虚数的充要条件是 即解得m＝3. ∴当m＝3时，复数z是纯虚数． [变式探究] 本例中条件不变，当m为何值时，z为实数？ 解：当即m＝－2时，z是实数． 解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(组)或不等式(组)即可． (3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)， ①z为实数⇔b＝0； ②z为虚数⇔b≠0； ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 知识点三　复数相等的充要条件 复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d． (1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立． (2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解． [例3] (1)若(4x－2y)i＝x＋1，求实数x，y的值； (2)已知a2＋ma＋2＋(2a＋m)i＝0(m∈R)成立，求实数a的值． 解：(1)由两个复数相等的充要条件， 得解得 故实数x，y的值分别为－1，－2. (2)因为a，m∈R，所以由a2＋ma＋2＋(2a＋m)i＝0， 可得解得或 所以a＝±. 解决复数相等问题的步骤 分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解． [练2] 满足x－3i＝(8x－y)i的实数x，y的值分别为(　　) A．0，3 B．0，－3 C．5，3 D．3，0 A　解析：依题意得解得故选A. [练3] 已知A＝{1，2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，求实数a的值． 解：由题意，得(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，∴解得a＝－1. 1．知识清单 (1)数系的扩充． (2)复数的有关概念． (3)复数的分类． (4)复数相等的充要条件． 2．方法归纳：方程思想． 3．常见误区：未化为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式． ◎随堂演练 1．在2＋，i，8＋5i，(1－)i，0.618这几个数中，纯虚数的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 C　解析：i，(1－)i是纯虚数，2＋，0.618是实数，8＋5i是虚数，故纯虚数的个数为2.