第六章 平面向量及其应用 阶段复习提升课（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

[对应学生用书P39] 专题一　平面向量的线性运算及其应用 向量线性运算的基本原则和求解策略 (1)向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧． (2)字符表示下线性运算的常用技巧 首尾相接用加法的三角形法则，如＋＝；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如－＝. (3)理解向量的有关概念，如平行向量(共线向量)、相等向量与相反向量、单位向量等，并进行恰当地应用． (4)注意常见结论的应用．如在△ABC中，点D是BC的中点，则＋＝2；＝λ＋(1－λ)⇔P，A，B三点共线． [练1] 已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y).若a－2b＋3c＝0，则c＝(　　) A．(1，) B．(，) C．(，) D．(－，－) D　解析：a－2b＋3c＝(5，－2)－2(－4，－3)＋3(x，y)＝(13＋3x，4＋3y)＝0， 所以所以 [练2] 在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝ ，y＝ ． 答案：　－　解析：∵＝2，∴＝.∵＝.∴＝(＋)，∴＝－＝(＋)－＝－.又＝x＋y，∴x＝，y＝－. 专题二　平面向量数量积的运算 平面向量数量积运算的两种方法 (1)利用向量数量积的定义，即a·b＝|a|·|b|·cos θ； (2)利用坐标运算，即a·b＝x1x2＋y1y2. 同时还要掌握利用数量积求向量的夹角、求向量的长度和判断两个向量垂直的方法． [练3] 在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2，1)，则·＝(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 A　解析：由四边形ABCD为平行四边形，知＝＋＝(3，－1).故·＝(2，1)·(3，－1)＝5. [练4] 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，＝2.若·＝－3，则·＝ . 答案：　解析：因为·＝(＋)·(－＋)＝－2－·＝－3，所以·＝. [练5] 已知平面内有向量＝(1，7)，＝(5，1)，＝(2，1)，X为直线OP上的一个动点． (1)当·取最小值时，求的坐标； (2)当点X满足(1)的条件和结论时，求cos ∠AXB的值． 解：(1)设＝(x，y)，因为点X在直线OP上， 所以向量与共线．又＝(2，1)， 所以x×1－y×2＝0，即x＝2y， 所以＝(2y，y).又＝－＝(1－2y，7－y)， ＝－＝(5－2y，1－y)， 于是·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y) ＝5y2－20y＋12 ＝5(y－2)2－8. 所以，当y＝2时，·取最小值－8，此时＝(4，2). (2)当＝(4，2)，即y＝2时， 有＝(－3，5)，＝(1，－1)，·＝－8， 所以cos ∠AXB＝＝＝－. 专题三　平面向量的平行与垂直问题 1．证明共线问题常用的方法 (1)向量a，b(a≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b＝λa. (2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0. (3)向量a与b共线⇔|a·b|＝|a||b|. (4)向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0. 2．证明垂直问题的常用方法 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). [练6] 若a＝(1，2)，b＝(－3，0)，(2a＋b)∥(a－mb)，则m＝(　　) A．－ B． C．2 D．－2 A　解析：因为a＝(1，2)，b＝(－3，0)，所以2a＋b＝(－1，4)，a－mb＝(1＋3m，2).由2a＋b与a－mb平行，得－1×2－4(1＋3m)＝0，解得m＝－. [练7] 已知向量a＝(6sin α，2)与向量b＝(3，4sin α)平行，则锐角α＝(　　) A． B． C． D． B　解析：因为向量a＝(6sin α，2)与向量b＝(3，4sin α)平行，所以24sin2α＝6，所以sin2α＝，sinα＝±.又α是锐角，所以sin α＝，α＝. [练8] 已知|a|＝4，|b|＝2，a，b的夹角为. (1)求|3a＋b|的值； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)? 解：(1)因为|a|＝4，|b|＝2，a，b的夹角为， 所以a·b＝|a||b|cos ＝4×2×(－)＝－4. 所以|3a＋b|＝＝＝2. (2)由(1)知，a·b＝－4，|a|＝4，|b|＝2. 因为(a＋2b)⊥(ka－b)， 所以(a＋2b)·(ka－b)＝0，即k|a|2－a·b＋2ka·b－2|b|2＝0， 所以16k＋4－8k－8＝0，解得k＝. 所以当k＝时，(