6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理的综合应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

第4课时　余弦定理、正弦定理的综合应用 [对应学生用书P37] 学习目标 1.掌握三角形的面积公式． 2．了解正弦定理、余弦定理在平面几何中的应用． 3．掌握正弦定理、余弦定理与其他知识的交汇问题． 知识点　三角形面积公式 已知△ABC的两边a，b和角C，如何求△ABC的面积？ 1．三角形的面积公式 S△ABC＝bc sin A＝ac sin B＝ab sin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． 2．△ABC中的常用结论 (1)A＋B＋C＝180°，sin (A＋B)＝sin C，cos (B＋C)＝－cos A； (2)大边对大角，即a>b⇔A>B⇔sin A>sin B． 三角形的面积公式S＝ab sin C与面积公式S＝a·h(h为a边上的高)的关系为h＝b sin C，实质上b sin C就是△ABC中a边上的高． [例1] 在△ABC中，若a＝2，C＝，cos ＝，求△ABC的面积S. 解：∵cos ＝，∴cos B＝2cos2－1＝. ∴B∈(0，).∴sinB＝. ∵C＝， ∴sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝. ∵＝，∴c＝＝×＝. ∴S＝ac sin B＝×2××＝. 求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用． [练1] 在△ABC中，若a＝3，cos C＝，S△ABC＝2，则b＝ ． 答案：　解析：∵cos C＝，∴C∈(0，)，∴sin C＝＝.又S△ABC＝ab sin C＝×3b×＝2，∴b＝. [练2] 在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于 ． 答案：或　解析：由正弦定理得sin C＝＝＝， ∵AB>AC，∴C>B，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝×1××1＝；当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝AB·AC·sin A＝×1××＝. 综合应用一：余弦定理、正弦定理在平面几何中的应用 [例2] 在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，A＝45°，AB＝2，BD＝5. (1)求cos ∠ADB； (2)若DC＝2，求BC. 解：(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin ∠ADB＝. 由题设知，∠ADB<90°， 所以cos ∠ADB＝＝. (2)由题设及(1)知，cos ∠BDC＝sin ∠ADB＝. 在△BCD中，由余弦定理得 BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos ∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25， 所以BC＝5. 在平面几何中求边、求角，通常思路是先找所求的边、角所在的三角形，再在三角形中通过余弦定理、正弦定理求边和角． [练3] 四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2. (1)求C和BD； (2)求四边形ABCD的面积． 解：(1)由题设及余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos C＝13－12cos C．① BD2＝AB2＋DA2－2AB·DA cos A＝5＋4cos C．② 由①②得cos C＝，故C＝60°，BD＝. (2)四边形ABCD的面积S＝AB·DA sin A＋BC·CD sin C＝(×1×2＋×3×2)sin 60°＝2. 综合应用二：余弦定理、正弦定理与其他知识的交汇 [例3] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＝ac，且cos B＝. (1)求＋的值； (2)设·＝，求a＋c的值． 解：(1)由cos B＝，B∈(0，π)，得sin B＝＝. 由b2＝ac及正弦定理，得sin2B＝sinA sin C. 于是＋＝＋＝＝＝＝＝. (2)由·＝，得ca·cos B＝. 由cos B＝，可得ca＝2，即b2＝2. 由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B， 得a2＋c2＝b2＋2ac cos B＝5， 即(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9. 又∵a>0，c＞0，∴a＋c＝3. 解三角形常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦定理或余弦定理求解． [练4] 在△ABC中，已知·＝3·. (1)求证：tan B＝3tan A； (2)若cos C＝，求A的值． (1)证明：因为·＝3·，所以||·||·cos A＝3||·||cos B，所以||cos A＝3||·cos B. 由正弦定理得sin B cos A＝3sin A cos B. 又因为0<A＋B<π， 所以cos A>0，cos B>0， 所以tan B＝3tan A. (2)解：因为c