6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例 [对应学生用书P34] 学习目标 会用余弦定理、正弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量等问题． 综合应用一：测量距离问题 [例1] 如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达).若在河岸选取相距20米的C，D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？ 解：由正弦定理得 AC＝ ＝＝＝10(1＋)(米)， BC＝DC＝20米． 在△ABC中，由余弦定理得 AB＝＝10(米). ∴A，B两点间的距离为10米． 测量不能到达的两点间的距离的方法 测量不能到达的两点间的距离，利用正余弦定理解斜三角形是一个重要的方法．解决这类问题的关键是构造一个或几个三角形，测量出有关边长和角，用正弦定理、余弦定理进行计算． [练1] 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于 m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73) 答案：60　解析：如图，过点A作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则在Rt△ABD中，∠ABD＝67°，AD＝46，所以AB＝.在△ABC中，根据正弦定理得BC＝＝46×≈60. 综合应用二：测量高度问题 [例2] 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以借助塔底B在同一水平面内的点C、点D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB. 解：在△BCD中，∠CBD＝π－(α＋β). 由正弦定理得＝. ∴BC＝＝. 在Rt△ABC中，AB＝BC tan ∠ACB＝. 测量高度问题的解题策略 (1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题． (2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路． [练2] 如图，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是C点在水平面的垂足，求山高CD. 解：因为CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°， 所以CD＝AD. 在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°， 由＝，得AD＝＝ ＝800(＋1)(m). 即山的高度为800(＋1)m. 综合应用三：测量角度问题 [例3] 在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处有一艘缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 解：设缉私船用t小时在D处追上走私船，画出示意图，则有CD＝10t，BD＝10t， 在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°， ∴由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝(－1)2＋22－2×(－1)×2×cos 120°＝6， ∴BC＝.又sin ∠ABC＝ ＝×＝， ∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向成90°角． ∴∠CBD＝90°＋30°＝120°. 在△BCD中，由正弦定理，得 sin ∠BCD＝＝＝， ∴∠BCD＝30°. 即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船． 测量角度问题的基本思路 解答测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解． [练3] 甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少海里？ 解：如图，设两船在C处相遇，并设∠CAB＝θ，乙船行驶距离BC为x n mile，则AC＝x n mile. 由正弦定理得sin θ＝＝.而θ<60°， ∴θ＝30°，∴∠ACB＝30°，BC＝AB＝a. ∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a n mile. 1．知识清单：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：易混淆测量中的一些术语． ◎随堂演练 1．若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC＝BC，则点A在点B的(　　) A．北偏东15°方