6.4.3 第2课时 正弦定理（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

第2课时　正弦定理 [对应学生用书P32] 学习目标 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系． 2．掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数． 知识点　正弦定理的推导 1．如图，在Rt△ABC中，，，各自等于什么？ 2．在一般的△ABC中，＝＝还成立吗？教材是如何说明的？ 1．对正弦定理的理解 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦． (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系． (4)主要功能：实现三角形中边角关系的转化． 2．正弦定理的各种变形 (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，其中R为△ABC外接圆的半径． (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝，其中R为△ABC外接圆的半径． (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. (4)＝＝＝. (5)a sin B＝b sin A，a sin C＝c sin A，b sin C＝c sin B. [练1] 在△ABC中，下列式子与的值相等的是(　　) A． B． C． D． C　解析：由正弦定理得，＝，所以＝. [练2] (多选)在△ABC中，若角A，B，C所对边分别是a，b，c，则下列关于正弦定理的叙述或变形正确的是(　　) A．a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B．a＝b⇔sin 2A＝sin 2B C．＝ D．正弦值较大的角所对的边也较大 ACD　解析：在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝k(k>0)，则a＝k sin A，b＝k sin B，c＝k sin C，故a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，故A项正确．当A＝30°，B＝60°时，sin 2A＝sin 2B，此时a≠b，故B项错误．根据比例式的性质易得C项正确．在三角形中，大角对大边，故D项正确． [练3] 在△ABC中，若B＝30°，b＝2，则＝ ． 答案：4　解析：＝＝＝4. 综合应用一：已知两角和一边解三角形 [例1] 在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B. 解：根据正弦定理，得a＝＝＝10. 又B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°， 所以b＝＝＝20sin 75°＝20×＝5(＋). 已知任意两角和一边，解三角形的步骤 (1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角； (2)求边：根据正弦定理，求另外的两边． 提醒：已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解． [练4] 在△ABC中，AB＝，A＝75°，B＝45°，则AC＝ . 答案：2　解析：C＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝2. 综合应用二：已知两边及一边的对角解三角形 [例2] 在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形． 解：∵＝， ∴sin C＝＝＝. ∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1； 当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1. 综上可得b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°. [变式探究] 若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，试判断角A有几个值？ 解：∵＝，∴sin A＝＝＝. ∵c＝>2＝a，∴C>A. ∴A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个． 1．已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤 (1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角． (2)用三角形内角和定理求出第三个角． (3)根据正弦定理求出第三条边． 其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值． 2．在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 [练5] 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C等于(　　) A． B． C． D． B　解析：由正弦定理，得＝，即＝，解得sin C＝.∵AB<AC，∴C<B，∴cos C＝＝. 综合应用三：利用正弦定理判断三角形形状 [例3]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a2cos A sin B＝b2sin A cos B，则△ABC的形状为(　　) A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形