6.4.3 第1课时 余弦定理（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.4.3　余弦定理、正弦定理 第1课时　余弦定理 [对应学生用书P30] 学习目标 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，了解余弦定理的推导过程． 2．掌握余弦定理及其变形，并能利用余弦定理解决相关问题． 知识点　余弦定理的推导 1．根据勾股定理，若△ABC中，∠C＝90°，则c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2ab cos C．① 试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？ 2．在c2＝a2＋b2－2ab cos C中，ab cos C能解释为哪两个向量的数量积？ 1．余弦定理 公式表达 语言叙述 推论 a2＝b2＋c2－2bc cos A 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 cos A＝ b2＝ cos B＝a2＋b2－2ab cos C c2＝a2＋c2－2ac cos B cos C＝ 1．余弦定理与勾股定理的关系 余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例． 2．余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 2．解三角形 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． [练1] 在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c等于(　　) A． B．8 C．10 D．7 D　解析：由余弦定理得c＝＝＝7. [练2] 在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝ ． 答案：　解析：∵a2－c2＋b2＝ab，∴c2＝a2＋b2－ab. 又∵c2＝a2＋b2－2ab cos C，∴2cos C＝1.∴cos C＝. 综合应用一：已知两边及一角解三角形 [例1] 在△ABC中，a＝3，b＝3，B＝30°，解这个三角形． 解：由余弦定理得b2＝c2＋a2－2ac cos B，即c2－9c＋18＝0，解得c＝3或c＝6. 当c＝3时，由b＝c知C＝30°.∴A＝120°. 当c＝6时，cos A＝＝. ∵0°<A<180°，∴A＝60°， 故C＝180°－60°－30°＝90°. 综上所述，A＝60°，C＝90°，c＝6或A＝120°，C＝30°，c＝3. 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角． [练3] 在△ABC中，B＝120°，a＝3，c＝5，则b＝(　　) A．4 B． C．7 D．4 C　解析：由题意得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝9＋25－2×3×5cos 120°＝49，解得b＝7.故选C. 综合应用二：已知三边(或三边关系)解三角形 [例2] 在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C. 解：根据余弦定理，得cos A＝ ＝＝. ∵A∈(0，π)，∴A＝， cos C＝＝＝. ∵C∈(0，π)，∴C＝. ∴B＝π－A－C＝π－－＝π， ∴A＝，B＝π，C＝. [变式探究] 本例若变为：三角形三边长之比是1∶∶2，则其三角之比是(　　) A．1∶2∶3 B．1∶∶2 C．1∶∶ D．∶∶2 A　解析：设三角形三边长分别为m，m，2m(m＞0)，最大角为A，则cos A＝＝0， ∴A＝90°.设最小角为B，则cos B＝＝，∴B＝30°，∴C＝60°.故此三角形三角之比为1∶2∶3.故选A. 已知三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦值，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． [练4] 在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＝3，c＝4，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，7) B．(1，5) C．(，5) D．(，5) C　解析：∵b＝3，c＝4，且△ABC是锐角三角形， ∴cos A＝>0，且cos C＝>0，∴7<a2<25，∴<a<5. 综合应用三：利用余弦定理判断三角形的形状 [例3] 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bc cosB·cos C，试判断△ABC的形状． 解：将已知等式变形为 b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bc cosB cos C. 由余弦定理并整理，得 b2＋c2－b2()2－c2()2 ＝2bc××， ∴b2＋c2＝＝