6.4.1 平面几何中的向量方法&6.4.2 向量在物理中的应用举例（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

6．4　平面向量的应用 6．4.1　平面几何中的向量方法 6．4.2　向量在物理中的应用举例 [对应学生用书P27] 学习目标 1.能用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题及其他实际问题． 2．体会向量在解决数学和实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力． 知识点一　平面几何中的向量方法 1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在平面几何中的应用 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，A＝(xA，yA)，B＝(xB，yB). (1)证明线段平行或点共线，常用共线向量定理： a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直，常用数量积的运算性质： a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0． (3)求解夹角问题，用夹角公式： cos θ＝＝(θ为a与b的夹角). (4)计算线段长度，常用模长公式： ||＝. [例1]如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 证明：方法一　设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0. 又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a， 所以·＝(b＋a)·(－a＋b)＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 方法二　如图，建立平面直角坐标系． 设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，＝(2，1)，＝(1，－2). 因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)基向量法：选取已知的不共线的两个向量作为基向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明． (2)坐标法：先建立直角坐标系，表示出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明． [练1] 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值． 解：如图，分别以等腰直角三角形AOB的两直角边为x轴、y轴建立平面直角坐标系，C，D分别为OB，OA的中点． 设A(2a，0)，B(0，2a)，则D(a，0)，C(0，a)， 从而可求得＝(－2a，a)，＝(a，－2a). 不妨设，的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝－. 故所求钝角的余弦值为－. [例2] 试用向量方法证明：平行四边形对角线的平方和等于其各边平方的和． 证明：如图， 在▱OACB中，设＝a，＝b， 则＝a＋b，＝a－b. 因为2＝·＝(a＋b)·(a＋b)＝|a|2＋2a·b＋|b|2， 2＝(a－b)·(a－b)＝|a|2－2a·b＋|b|2， 所以OC2＋BA2＝2|a|2＋2|b|2. 因为OA＝BC＝|a|，OB＝AC＝|b|， 所以OC2＋BA2＝OA2＋BC2＋OB2＋AC2. 利用向量法解决长度问题的策略 向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解； 二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式|a|＝求解． [练2]如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b. 而||＝|a－b|＝＝ ＝＝2， ∴5－2a·b＝4，∴a·b＝. 又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6， ∴||＝，即AC＝. 知识点二　向量在物理中的应用举例 向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等． (2)向量的加、减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解． (3)动量mv是向量的数乘运算． (4)功是力F与所产生的位移s的数量积． [例3] 在风速为75(－) km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向． 解：设ω表示风速，va表示有风时飞机的航行速度，vb表示无风时飞机的航行速度，vb＝va－ω.如图所示． 设||＝|va|，||＝|ω|，||＝|vb|，作AD∥BC，CD⊥AD于点D，BE⊥AD于点E，则∠BAD＝45°. 设||＝150，则||＝75(－). ∴||＝||＝||＝75，||＝75. 从而||＝150，∠CAD＝30°.∴|vb|＝150， 即没有风时飞机的航速为150 km/h，航向为北偏西60°. 利用向量法解决物理问题的步骤 (1)抽象出物理问题的向量，转化为数学问题； (2)建立以向量为主体的数学模型； (3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型； (4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题． [练