6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 [对应学生用书P22] 学习目标 1.掌握数乘向量的坐标运算法则，并会用坐标表示平面向量的数乘运算． 2．能用坐标表示平面向量共线的条件，并会应用向量的共线条件解决问题． 知识点一　平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，你能得出λa的坐标吗？ 平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，那么λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． [例1] 已知向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b，3a，2a＋3b的坐标． 解：a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)， a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)， 3a＝3(－1，2)＝(－3，6)， 2a＋3b＝2(－1，2)＋3(3，－5)＝(－2，4)＋(9，－15)＝(7，－11). 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的坐标运算进行运算． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性运算可完全类比数的运算进行． [练1] 已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝(　　) A．(－23，－12) B．(23，12) C．(7，0) D．(－7，0) A　解析：∵a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，且c满足3a－2b＋c＝0，∴c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12). [练2] 已知a＝(－1，2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，试用向量a，b表示向量c. 解：设c＝pa＋qb(p，q∈R)， ∵a＝(－1，2)，b＝(1，－1)， ∴c＝pa＋qb＝p(－1，2)＋q(1，－1)＝(－p＋q，2p－q). 又∵c＝(3，－2)，∴解得 故c＝a＋4b. 知识点二　平面向量共线的坐标表示 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0． 正确理解向量平行的条件 (1)a∥b(b≠0)⇔a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系． (2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).这是代数运算，由于不需要引进参数λ，从而简化了运算过程． (3)a∥b⇔＝，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且y1≠0，y2≠0.即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误． [例2] (1)已知A(1，－3)，B(8，)，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线． (2)已知a＝(1，0)，b＝(2，1)，若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值． (1)证明：＝(8－1，＋3)＝(7，)，＝(9－1，1＋3)＝(8，4). ∵7×4－×8＝0，∴∥ ，且，有公共点A， ∴A，B，C三点共线． (2)解：＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)， ＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m). ∵A，B，C三点共线，∴∥ ， ∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝. 向量共线的判定方法 [练3] 已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3)，判断与是否共线．如果共线，它们的方向是相同还是相反？ 解：＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)， ＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6). 方法一　∵(－2)(－6)－3×4＝0，∴与共线，通过观察可知，和方向相反． 方法二　∵＝－2，∴与共线且方向相反． [练4] 设O是坐标原点，＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k).当k为何值时，A，B，C三点共线？ 解：∵＝－＝(4－k，－7)， ＝－＝(10－k，k－12)， 又A，B，C三点共线， ∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，解得k＝－2或k＝11. 即当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线． 知识点三　有向线段的定比分点 坐标公式及应用 若线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是直线P1P2上的一点，则当＝λ时，点P的坐标为(，)(λ≠－1). 当λ＝1时，P(，)，即P为线段P1P2的中点． (1)λ的值可正、可负． (2)若λ＝－1，则点P1，P2重合，无意义． [例3]如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且＝2，求点G的坐标． 解：∵D是AB的中点， ∴点D的坐标为(，)， ∵＝2，∴＝2， 设G点