6.2.4 第2课时 向量数量积的运算律（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

第2课时　向量数量积的运算律 [对应学生用书P15] 学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式． 2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明． 知识点　向量数量积的运算律 1．平面向量数量积的运算律 交换律 a·b＝b·a 结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c (1)向量的数量积不满足消去律，即a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，得不到a＝b. (2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立． 2．平面向量数量积的几个常用结论 类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质． 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a [例1] (多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，则(　　) A．a·c－b·c＝(a－b)·c B．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 C．|a|－|b|<|a－b| D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 ACD　解析：根据数量积的分配律知A项正确；∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B项错误；∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a－b|组成三角形，∴|a|－|b|<|a－b|成立，C项正确；D项正确．故选ACD. 向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时也有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0. [练1] 给出下列结论： ①若a·b＝a·c，则b＝c； ②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2； ③(a＋b)2＝|a|2＋2|a||b|＋|b|2. 其中正确的是 ．(填序号) 答案：②　解析：由向量数量积的性质和运算律知，①③错误，②正确． 综合应用一：利用数量积求向量模的问题 [例2] 已知向量a与b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，则|b|＝ ． 答案：　解析：因为|2a＋b|＝，所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10.又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，所以4|a|2＋4|a||b|cos 45°＋|b|2＝10，故4×12＋4×1×|b|×＋|b|2＝10.整理得|b|2＋2|b|－6＝0，解得|b|＝或|b|＝－3(舍去). 求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． (3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等． [练2] 已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cos α＝.若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝ ． 答案：3　解析：由题意知e1·e2＝|e1||e2|cos α＝1×1×＝，则|a|2＝a2＝(3e1－2e2)2＝9e－12e1·e2＋4e＝9，所以|a|＝3. [练3] 已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|. 解：由已知，|a＋b|＝4， ∴|a＋b|2＝42，∴a2＋2a·b＋b2＝16.(*) ∵|a|＝2，|b|＝3，∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9. 代入(*)式得4＋2a·b＋9＝16，即2a·b＝3. 又∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10， ∴|a－b|＝. 综合应用二：求解向量垂直与夹角问题 [例3] (1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为 . (2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角θ的值． 答案：(1)(0，1)∪(1，＋∞)　解析：∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)·e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.