6.2.2 向量的减法运算（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.2.2　向量的减法运算 [对应学生用书P7] 学习目标 1.借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、向量减法的意义． 2．掌握向量减法的几何意义． 3．能熟练地进行向量的加、减综合运算． 知识点一　相反向量 1．实数a的相反数是－a，－a的相反数是a，0的相反数是0.若把实数a换成向量a，结论还成立吗？ 2．我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？ 定义 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a 性质 －(－a)＝a 零向量的相反向量仍是零向量 a＋(－a)＝(－a)＋a＝0 如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0 (1)说明相反向量仍从方向与长度两个方面进行． (2)相反向量可以为向量的“移项”提供依据．利用(－a)＋a＝0在向量等式的两端加上某个向量的相反向量，实现向量的“移项”．例如，由a＋b＝c＋d可得a－c＝d－b. [练1] (多选)若非零向量m与n是相反向量，则(　　) A．m＝n B．m＝－n C．|m|＝|n| D．m与n方向相反 BCD　解析：互为相反向量的两个向量的大小相等，方向相反，故A项错误，其他选项正确． [练2] (多选)下列命题正确的是(　　) A．相反向量就是方向相反的向量 B．向量与是相反向量 C．若a＋b＝0，则a，b互为相反向量 D．相反向量是共线向量 BCD　解析：根据相反向量的概念可知，A项错误，其他选项均正确． 知识点二　向量的减法运算 由于a－b＝a＋(－b).因此要作出a与b的差向量a－b，可以转化为作a与－b的和向量．已知向量a，b如图所示，你能利用平行四边形法则作出差向量a－b吗？ 向量的减法运算 定义 a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．求两个向量差的运算叫做向量的减法 作法 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝ 图形 几何意义 如果把两个向量a，b的起点放在一起，那么a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 对向量减法的三点说明 (1)向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝，就可以把减法转化为加法． (2)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点． (3)向量减法满足三角形法则．在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被减”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆． [例1] 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 解：方法一　如图1，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b.再作＝c，则＝a＋b－c. 方法二　如图2，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b.再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 求作两个向量的差向量时，若两个向量有共同起点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的起点重合，再作出差向量． [练3] 如图，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：b＋c－a. 解：方法一　如图，以，为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c， ＝－＝b＋c－a. 方法二　作＝＝b，连接AD，则＝－＝c－a，＝＋＝c－a＋b＝b＋c－a. [例2] 化简(－)－(－). 解：方法一　(－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0. 方法二　(－)－(－)＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0. 方法三　(－)－(－)＝－－＋＝(－)－(－)－(－)＋(－)＝－－＋－＋＋－＝0. 向量减法运算的常用方法 [练4] 化简下列各式： (1)－＋－； (2)(＋＋)－(－－). 解：(1)－＋－＝＋－＝－＝. (2)(＋＋)－(－－) ＝(＋)－(－)＝－＝0. 综合应用：用已知向量表示其他向量 [例3] 如图，在五边形ABCDE中，四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及. 解：∵四边形ACDE是平行四边形，∴＝＝c， ＝－＝b－a， ＝－＝c－a， ＝－＝c－b， ∴＝＋＝b－a＋c. (1)利用已知向量表示其他向量的思路 解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量加法、减法和共线(相等)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系．当运用向量和的三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接．当两个向量共起点时，可以考虑用减法． (2)常用结论 任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和(差)，即＝＋以及＝－(M，N均是同一平面内的任意点). [练5] 如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量． (1)；(2)；