6.2.1 向量的加法运算（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

6．2　平面向量的运算 6．2.1　向量的加法运算 [对应学生用书P4] 学习目标 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加法运算． 2．理解向量加法的几何意义． 知识点一　向量的加法运算 1．某人从A地经B地到达C地的两次位移，与A地直接到C地的位移关系如何？ 2．两个力F1，F2作用于同一个物体上，当物体静止时，说明了什么？ 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法 法 则 三角形法则 前提 非零向量a，b 作法 在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量 法 则 三角形法则 结论 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 图形 平行四边形法则 前提 不共线的两个向量a，b 作法 在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB 结论 以O为起点的向量就是向量a与b的和 平行四边形法则 图形 规定 零向量与任意向量a的和都有a＋0＝0＋a＝a 1．对向量加法的三角形法则的两点说明 (1)适用范围：非零向量． (2)注意事项：①两个向量一定首尾相连；②和向量的起点是第一个向量的起点，终点是第二个向量的终点；③当多个向量相加时，可以使用三角形法则． 2．对向量加法的平行四边形法则的两点说明 (1)适用范围：任意两个不共线向量． (2)注意事项：①两个非零向量一定要有相同的起点；②平行四边形中的一条对角线所对应的向量为共起点两向量的和向量；③方法与步骤：第一步：先把两个已知向量a与b的起点平移到同一点；第二步：以这两个已知向量为邻边作平行四边形． [例1] 如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c. 解：方法一　可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即a＋b＋c.如图1， 首先在平面内任取一点O，作向量＝a，接着作向量＝c，则得向量＝a＋c，然后作向量＝b，则向量＝a＋b＋c为所求和向量． 方法二　三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图2， (1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b； (2)作平行四边形AOBC，则＝a＋b； (3)再作向量＝c； (4)作平行四边形CODE，则＝＋c＝a＋b＋c. 即为所求和向量． 应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题 (1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量． (2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合． (3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单． [练1] 如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　) A． B． C． D． C　解析：以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所示，则＋＝.由和的模相等，方向相同，得＝，即＋＝. 知识点二　向量的三角不等式与加法的运算律 1．请探索|a＋b|与|a|，|b|之间的关系？ 2．实数的加法满足交换律和结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？ 1．一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立． 2．向量加法的运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (1)当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立． (2)多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)，a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e). [例2] (1)已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为 ． (2)化简： ①＋＋＋； ②＋＋. 答案：(1)13　解析：因为|a＋b|≤|a|＋|b|＝8＋5＝13，所以|a＋b|的最大值为13. (2)解：①＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝. ②＋＋＝(＋)＋＝. 向量运算中化简的两种方法 (1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量． (2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简． [练2] 下列各式不一定成立的是(　　) A．a＋b＝b＋a B．0＋a＝a C．＋＝ D．|a＋b|＝|a|＋|b| D　解析：A项成立，为向量加法的交换律；B项成立；C项成立，即向量加法的三角形法则；D项不一定成立，只有a，b同向或有一个为零向量时，才有|a＋b|＝|a|＋|b|. [练3] 化简： (1)＋＋； (2)＋＋＋. 解：(1)＋＋＝(＋)＋＝＋＝. (2)＋＋＋＝(＋)＋(＋