6.2 6.2.4 第2课时 向量数量积的运算律（课件PPT）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.2.4　向量的数量积 第2课时　向量数量积的运算律 第六章　平面向量及其应用 学习目标 1．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式． 2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明． 高中数学　必修　第二册　A 第六章　平面向量及其应用 知识点　向量数量积的运算律 1．平面向量数量积的运算律 交换律 a·b＝______ 结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·________ 分配律 (a＋b)·c＝______________ b·a (λb) a·c＋b·c 高中数学　必修　第二册　A 第六章　平面向量及其应用 点拨提醒 (1)向量的数量积不满足消去律，即a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，得不到a＝b. (2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立． 高中数学　必修　第二册　A 第六章　平面向量及其应用 2．平面向量数量积的几个常用结论 类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质． 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝______________ (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝_______________ a2＋2a·b＋b2 a2－2a·b＋b2 高中数学　必修　第二册　A 第六章　平面向量及其应用 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝_________ (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝________________________________ a2－b2 a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a 高中数学　必修　第二册　A 第六章　平面向量及其应用 [例1] (多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，则(　　) A．a·c－b·c＝(a－b)·c B．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 C．|a|－|b|<|a－b| D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 ACD 高中数学　必修　第二册　A 第六章　平面向量及其应用 解析： 高中数学　必修　第二册　A 第六章　平面向量及其应用 总结提升 向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时也有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0. 高中数学　必修　第二册　A 第六章　平面向量及其应用 [练1] 给出下列结论： ①若a·b＝a·c，则b＝c； ②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2； ③(a＋b)2＝|a|2＋2|a||b|＋|b|2. 其中正确的是________________．(填序号) 答案：②　解析：由向量数量积的性质和运算律知，①③错误，②正确． 高中数学　必修　第二册　A 第六章　平面向量及其应用 高中数学　必修　第二册　A 第六章　平面向量及其应用 总结提升 高中数学　必修　第二册　A 第六章　平面向量及其应用 高中数学　必修　第二册　A 第六章　平面向量及其应用 [练3] 已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|. 解：由已知，|a＋b|＝4， ∴|a＋b|2＝42，∴a2＋2a·b＋b2＝16.(*) ∵|a|＝2，|b|＝3，∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9. 代入(*)式得4＋2a·b＋9＝16，即2a·b＝3. 又∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10， 高中数学　必修　第二册　A 第六章　平面向量及其应用 综合应用二：求解向量垂直与夹角问题 [例3] (1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为________________. (2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角θ的值． 高中数学　必修　第二册　A 第六章　平面向量及其应用 高中数学　必修　第二册　A 第六章　平面向量及其应用 [变式探究] 将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围． 高中数学　必修　第二册　A 第六章　平面向量及其应用 总结提升 高中数学　必修　第二册　A 第六章　平面向量及其应用 高中数学　必修　第二册　A 第六章　平面向量及其应用 1．知识清单 (1)向量数量积的运算律． (2)利用数量积求向量的模和夹角． (3)向量垂直的应用． 2．方法归纳：类比法． 3．常见误区：已知两个非零向量数量积大于0或小于0时易忽视两向量