投影向量限时训练四-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

投影向量 限时训练四 时量 40分钟 一、单选题 1．向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量与是非零向量，且满足在上的投影向量为，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B．2 C． D． 二、多选题 6．（多选）已知两个单位向量的夹角为θ，则下列结论正确的是（　　） A．在方向上的投影向量为 B． C． D． 7．已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C．若，则 D．若，则 8．下列说法正确的是（    ） A．向量在向量上的投影向量可表示为 B．若，则与的夹角的范围是 C．若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，的夹角为 D．若，则 三、填空题 9．已知非零向量满足，.若为在上的投影向量，则向量夹角的余弦值为 10．已知向量，满足，在方向上的投影向量为，则的最小值为 . 四、解答题 11．已知． (1)求与的夹角； (2)若在方向上的投影向量为，求的值． 12．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的坐标．    (1)若，，求在上的投影向量斜坐标． (2)若，，，求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】代入投影向量公式，即可求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：C 2．A 【分析】根据投影向量、向量数量积等知识求得正确答案. 【详解】设与的夹角为， 在上的投影向量为 所以， 所以， 所以为钝角，且. 故选：A 3．D 【分析】根据向量的加法法则，结合投影向量的求解即可求解. 【详解】由可得， 又，如图所示，由平行四边形法则可得四边形为菱形， 故互相垂直平分，所以在方向上的投影向量为， 故选：D． 4．C 【分析】根据向量在向量上的投影公式进行计算即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为：， 故选：C. 5．A 【分析】由投影向量计算公式可得答案. 【详解】在向量上的投影向量为. . 故选：A 6．ABC 【分析】对于A，由投影向量公式验算即可；对于BCD由数量积公式验算即可. 【详解】因为两个单位向量的夹角为θ， 则，则在方向上的投影向量为，故A正确； ，故B正确； ，故，故C正确； ，故D错误. 故选：ABC. 7．AB 【分析】由题意可得，根据可判断A；根据在方向上的投影向量为可判断B；根据可判断C；根据数量积的运算律可判断D. 【详解】因为，都是单位向量，所以， 所以，即，故A正确； 在方向上的投影向量为，故B正确； 若，则，即，即， 因为，所以，故C错误； 若，则， 所以，即，故D错误. 故选：AB 8．AB 【分析】根据向量数量积的定义，投影向量的定义，以及向量夹角的定义，即可判断选项. 【详解】A.根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量可表示为，故A正确； B.根据，可知，，所以与的夹角的范围是，故B正确； C.由向量夹角的定义可知，，的夹角为，故C错误； D. 若，则或或，其中零向量与其它向量不一定垂直，故D错误. 故选：AB 9． 【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算和向量的投影向量的计算公式，结合其夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由，为在上的投影向量， 设向量的夹角为，， 所以，故， 故答案是：. 10．2 【分析】由题设有，结合数量积的定义得，，应用数量积的运算律有，即可求模长的最小值. 【详解】由题意，在方向上的投影数量为1， 故，则，设向量夹角为， ，则，（）， 由，故的最小值为. 故答案为：2 11．(1) (2)10 【分析】（1）根据数量积的运算和性质计算可得； （2）先求投影向量，然后利用数量积有关性质计算即可. 【详解】（1）， ，即， ，， . （2）， . 12．(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量模的公式、平面向量数量积的定义和运算性质，结合投影向量的定义进行求解即可； （2）根据平面向量模的公式、平面向量数量积的定义和运算性质，结合平面向量夹角公式、函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）∵若，， 所以， ， ， ， ∴在上的投影向量为 即在上的投影向量斜坐标为； （2）∵， ∴，， ∴， 又，， ，， ， 令，则，， 又，在上单调递增， ∴，即的最小值为. 【点睛】关键点睛：利用平面向量数量积的运算性质，结合分式型函