6.4.3正、余弦定理学案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

西双版纳八壹中学2023届 数学学案 —— 年——月——日—— 课题：第六章 平面向量 6.4.3正 余弦定理 班级—————— 姓名—————— 一．学习目标 1.本节的主要内容是余弦定理，它是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广.余弦定理描述了三角形重要的边角关系，为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具； 2.能够从余弦定理得到它的推论，达到逻辑推理核心素养水平一的要求； 3.能够应用余弦定理及其推论解三角形，达到数学运算核心素养水平一的要求； 二．问题与例题 问题1：从解直角三角形说起 （解三角形是怎么一回事？） 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形(solvingtriangles). 问题2：用向量方法探究三角形的边角关系 于是，我们得到了三角形中边角关系的一个重要定理: 余弦定理(lawofcosines)三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即 、 问题3：从解直角三角形说起 问题4：用向量方法探究三角形的边角关系 如图6.4-10,在锐角△ABC中,过点A作与垂直的单位向量,则与的夹角为,与的夹角为. 因为,所以 由分配律,得 即 也即 所以 同理,过点C作与垂直的单位向量,可得 因此 探究5：正弦定理的比值是什么？ 直角三角形 （猜测外接圆直接） 验证锐角三角形 钝角三角形 三 题型归纳 题型1：解三角形求基本量 1．在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，若，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 3．已知在中，，则（    ） A．1 B． C． D． 4．在中，若，，，则 . 5．在中，已知，则 ， . 6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则＝ ，b＝ . 7．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求c． 8．已知在中，，，，则 ． 9．在中，角的对边分别为． (1)求的值； (2)求边上的高． 题型2：余弦变式 1．（多选）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（ ） A． B． C． D． 2．在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，△的面积为. (1)求； (2)若，求； (3)求的值. 3．已知在锐角中，角所对的边分别为，记其面积为，则有 (1)求； (2)若，求的最大值． 4．在中，角，，的对边分别为，，，已知的面积为． (1)求； (2)若，求． 5．在中，角A，B，C所对应的边为a，b，c.若的面积，其外接圆半径，且，则 . 6．已知的半径为，在它的内接中有成立，求角的大小． 7．在中，角，，的对边分别为，，，已知的面积为． (1)求； (2)若，求． 8．在中，内角，，的对边分别为，，，已知该三角形的面积． (1)求角的大小； (2)若时，求面积的最大值． 题型3：边角互化化简型 1．在中，内角的对边分别为，若，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求角A； (2)若，求的面积． 3．的内角的对边分别为，已知 (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 4．已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)若，求角A； (2)若，，求a的值． 5．已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)若，求的值； (3)若的面积为，，求的周长． 6．在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答. 问题：在中，角所对的边分别为，已知________. (1)求； (2)若的外接圆半径为2，且，求的面积. 7．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，，且. (1)求角C； (2)若，的面积为，求的周长. 8．记的内角的对边分别为，已知． (1)； (2)若，，求的面积． 9．记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知． (1)求角C； (2)若的周长为20，面积为，求边c． 题型4：含有三角形三线的问题 1．在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，，为的中点，求． 2．设的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，点在边上，，且，求. 3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A的平分线交BC于点D，且． (1)求A： (2)若，的周长为15，求AD的长 4．在中，角的对边分别为且. (1)求角A; (2)若的