第06讲 余弦定理、正弦定理及其应用（3个知识点+6种题型+强化训练）-2023-2024学年高一下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修二）

第06讲 余弦定理、正弦定理及其应用（3个知识点+6种题型+强化训练） 知识导图 知识清单 知识点1.余弦定理 1．余弦定理 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos_A， b2＝a2＋c2－2accos_B， c2＝a2＋b2－2abcos_C 变形 cos A＝； cos B＝； cos C＝ 思考：在△ABC中，若a2<b2＋c2，则△ABC是锐角三角形吗？ [提示]　不一定．因为△ABC中a不一定是最大边，所以△ABC不一定是锐角三角形． 2．解三角形 (1)一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素． 知识点2. 正弦定理 1.正弦定理 思考：如图，在Rt△ABC中，，，各自等于什么？ [提示]　＝＝＝c. 2．正弦定理及其变形 (1)定理内容： ＝＝＝2R(R为外接圆半径)． (2)正弦定理的常见变形： ①sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； ②＝＝＝＝2R； ③a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； ④sin A＝，sin B＝，sin C＝. 思考：在△ABC中，已知acos B＝bcos A．你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)? [提示]　可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A，移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos B－cos Asin B＝0. 3．三角形的面积公式 任意三角形的面积公式为： (1)S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． (2)S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长． (3)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长． 知识点3. 余弦定理、正弦定理应用举例 1．基线的概念与选择原则 (1)定义 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线． (2)性质 在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 思考1：在本章“解三角形”引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？ [提示]　利用正弦定理和余弦定理． 2．测量中的有关角的概念 (1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图所示) (2)方向角 从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°. (如图所示) 知识复习 题型1. 用余弦定理解三角形 一、单选题 1．（22·23高三上·江苏南通·期末）我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是（　　）      A． B． C． D． 二、多选题 2．（2024高三·全国·专题练习）（多选）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（ ） A． B． C． D． 三、填空题 3．（2024高三·全国·专题练习）已知的内角、、的对边分别为、、，若且，则的周长的取值范围为 . 四、解答题 4．（2024高一下·江苏·专题练习）根据下列条件解三角形（边长精确到0.01，角度精确到0.1°，）： (1)已知，，，求a； (2)已知，，，求． 5．（23·24高一·上海·假期作业）在中，已知，，. 求、及. 题型2. 余弦定理边角互换的应用 一、单选题 1．（22·23高一下·宁夏银川·阶段练习）如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若边上的中线，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（22·23高二上·陕西商洛·期末）在中，内角的对边分别为.若，，且则（    ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（2022·四川资阳·一模）记的内角，，所对的边分别是，，．已知． (1)求角的大小； (2)若点在边上，平分，，且，求． 4．（23·24高三上·山西临汾·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)若，求A； (2)若，求证：. 题型3