8.6.1 空间直线、平面的垂直 讲义-2023-2024学年高一数学下学期《一隅三反》系列（人教A版2019必修第二册）

8.6.1 空间直线、平面的垂直 考法一 异面直线所成角 【例1】（2024山东烟台）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024·陕西）如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 2．（2023北京昌平·期末）如图，在正方体中，直线与直线所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（2024北京）如图，是圆锥的顶点，是底面直径，点在底面圆上．若为正三角形，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 考法二 线线垂直 【例2-1】（2023北京）空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：. 【例2-2】（2023云南）如图，是等腰直角三角形，都垂直于平面，且为线段的中点．证明：. 【一隅三反】 1．（2023福建福州）如图，在正三棱柱中，E为棱AC的中点，.求证：. 2．（2024天津）如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证：CD1⊥EF. 3（22·23高一·全国·课堂例题）已知是棱长为a的正方体（如图）．    (1)正方体的哪些棱所在的直线与直线是异面直线？ (2)求证直线与BC垂直． (3)求直线与AC的夹角． 考法三 线面垂直的判定 【例3-1】（2024广东湛江）如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，为等边三角形，，证明：BD平面    2（2024海南）如图，在三棱锥中，平面，，，，为棱的中点，证明：平面 【一隅三反】 1．（2023高一课时练习）如图，在正方体中，为的中点，.求证： （1）平面； （2）平面. 2．（2024天津）如图，六棱锥的底面是边长为1的正六边形，平面，. (1)求证：直线平面； (2)求证：直线平面； 3（2024内蒙古）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，. (1)证明：平面. (2)若，求三棱锥的体积. 考法四 面面垂直判定 【例4】（2024河南）在四棱锥中，底面是正方形，平面．    (1)求证：平面⊥平面； (2)求证：平面⊥平面． 【一隅三反】 1（2024广西柳州）如图，四边形是正方形，平面，，分别为的中点，且．求证：平面平面．    2．（2023内蒙古）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面为棱的中点，连接.求证： (1)平面； (2)平面平面. 3（2024江苏南京）正三棱柱的底面边长与侧棱长都是2，分别是的中点． (1)求三棱柱的全面积； (2)求证：∥平面； (3)求证：平面⊥平面． 考法五 线面垂直的性质定理 【例5-1】（2023上海）如图，平面平面，，，垂足分别为，，直线平面，.求证：. 【例5-2】（2023安徽）圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，证明：面 【例5-3】（2023广东肇庆）如图，在正三棱柱中，D是棱的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 【一隅三反】 1．（2023北京）如图，已知正方体的棱长为2． ，分别为与上的点，且，． 求证：； 2．（22·23高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如图，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形，，F为CD的中点，求证：∥平面BCE. 3．（2024湖北）如图，在直三棱柱中，，，点是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：． 考法六 面面垂直的性质定理 【例6-1】（2024·河南信阳）设两条直线，，两个平面，，则下列条件能推出的是（    ） A．，，且 B．，，且 C．，，且 D．，，且， 【例6-2】（2023北京）如图，四棱锥的底面是平行四边形，E是上一点，且，若平面平面． (1)求证：平面； (2)棱上是否存在点F，使得∥平面？请说明理由． 【一隅三反】 1．（2023山东济宁 ）已知不重合的平面、、和直线，则“”的充分不必要条件是（    ） A．内有无数条直线与平行 B．内的任何直线都与平行 C．且 D．且 2．（2023·河南·模拟预测）如图，在三棱柱中，，平面平面为的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：. 3．（2023高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，侧面底面，侧面是菱形，，，．若为的中点，求证：． 4．（2023河南）如图，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面．求证：． 1． 单选题 1．（2024·湖北 ）正方体中，为的中点，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D．1 2．（2023北京海淀 ）已知三棱柱中，侧面底面，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件