8.6.2 空间距离与空间角 讲义-2023-2024学年高一数学下学期《一隅三反》系列（人教A版2019必修第二册）

8.6.2 空间距离与空间角 考法一 线面角 【例1】（2023·湖南岳阳）如图，在正方体中，直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024·陕西）在正三棱柱中，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024北京 ）如图，在正三棱柱中，，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024云南昆明）如图所示，在长方体中，，，是棱的中点． (1)求异面直线和所成的角的正切值； (2)求与平面所成的角大小． 考法二 二面角 【例2-1】（2024上海）在正方体中，截面与底面所成锐二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（2024广东广州）如图1，在矩形ABCD中，，．将△BCD沿BD翻折至，且，如图2．    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面ABD夹角的余弦值． 【一隅三反】 1．（2024安徽合肥）如图，三棱锥中，且为正三角形，分别是的中点，若截面侧面，则此棱锥侧面与底面夹角的余弦值为 . 2．（2024天津和平）如图，正方体，棱长为是的中点，则二面角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·四川）如图所示，是正三角形，平面，，，，且F为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值. 考法三 点线距 【例3】（2024湖北）已知垂直于所在的平面，，则点到的距离为 ． 【一隅三反】 1．（2023重庆·期中）如图在棱长为2的正方体，中E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（    ）    A． B． C． D． 2．（2023上海·期末）为直角梯形，，，，平面，， (1)求证：； (2)求点到直线的距离. 考法四 线线距 【例4】（2024江苏）如图，在正方体中，棱长为1，写出下列异面直线的公垂线并求异面直线的距离． (1)和； (2)和； (3)和． 【一隅三反】 1．（2024上海普陀）在四面体中，若，则异面直线与的距离为 ． 2．（2024河北）如图，已知四棱锥中，为矩形，平面，，异面直线与之间的距离为 . 3．（2024江苏）在棱长为1的正方体中，直线AC与直线的距离是 ． 考法五 点面距 【例5】（2023新疆喀什·期末）如图，在四棱锥中，平面，，. (1)求证：平面； (2)若，求点C到平面的距离. 【一隅三反】 1．（2023北京）如图，正方形的边长为分别是的中点，将沿折起，使得为正三角形． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 2．（2024湖南）如图，在四棱锥中，平面，，，，为线段的中点，PB与底面ABCD所成角正切值为．    (1)求证：； (2)求点D到面的距离． 3（2024四川雅安）如图，在四棱柱中，底面和侧面均是边长为2的正方形． (1)证明：． (2)若，求点到平面的距离． 考法六 面面距 【例6】（2023·河南）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面间的距离. 【一隅三反】 1．（2023福建）在长方体中，有一过且与平面平行的平面，棱，，则平面与平面的距离是 ． 2．（2024北京）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．      (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 3（2024江西）如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点. (1)证明：平面EB1D1平面FBD； (2)求平面EB1D1与平面FBD之间的距离. 1． 单选题 1．（2024山东）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱与底面ABCD所成的角为，则该正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（2023山东）在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，异面直线与所成角的余弦值为，则直线与直线的距离为（    ） A．2 B．1 C． D． 3．（2024湖北）在直三棱柱中，所有棱长均为1，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（2024河北 ）已知正方体的棱长为为线段上的动点，则点到平面距离的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 5．（2024湖北宜昌 ）在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点， 则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（2024广东汕头 ）如图，在三棱锥中，平面，则下列选项中，不正确的是（    ） A．平面平面 B．二面角的余弦值为 C．与平面所成角为 D．三棱锥外接球的表面