17.1勾股定理-2023-2024学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

17.1勾股定理 【考点梳理】 考点一：用勾股定理解三角形 考点二：已知两点坐标求距离 考点三：勾股数问题 考点四：以直角三角形三边为边长的图形面积 考点五：勾股定理和网格问题 考点六：勾股定理和折叠问题 考点七：利用勾股定理求两条线段的平方和（差）考点八：勾股定理构造图形解决问题 考点九：以炫图为背景的计算题 考点十：勾股定理的应用 考点十一：勾股定理的证明 知识点一：勾股定理 　　直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 　技巧归纳： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在中，，则，，） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 知识点二：勾股定理的证明 一般是通过剪拼，借助面积进行证明。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不变。 图1是由4个全等三角形拼成的,得到一个以a+b为边长的大正方形和以直角三角形斜边c为边长的小正方形。则大正方形的面积可表示为(a+b)2，又可表示为ab·4+c2,所以(a+b)2=ab·4+c2，整理得a2+b2=c2 在图2的另一种拼法中，以c为边长的正方形的面积可表示成四个全等的直角三角形与边长为(b-a)的正方形的面积的和,所以ab·4+(b-a)2=c2，整理得a2+b2=c2. 知识点三：勾股定理的应用 (1)勾股定理的应用条件 勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。 (2)勾股定理的实际应用 勾股定理反映了直角三角形3条边之间的关系,利用勾股定理,可以解决直角三角形的有关计算和证明.例如:已知直角三角形的两条直角边可求斜边;已知直角三角形的斜边和一条直角边，可求另一条直角边。 勾股定理还可以解决生产生活中的一些实际问题。在解决问题的过程中，往往利用勾股定理列方程(组)，将实际问题转化成直角三角形的模型来解决。 (3)利用勾股定理作长为 (n为大于1的整数)的线段 实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对应的点，而若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难。由此，我们可借助勾股定理，作直角边为1的等腰直角三角形，它的斜边长等于；作直角边为，1的直角三角形，其斜边长为。类似地，可以作出长为 (n为大于1的整数)的线段。 题型一：用勾股定理解三角形 1．（2024八年级下·全国·）如图，在中，，点D在边上，，平分交于点E．若，，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，已知，，，则斜边上的高为（　　） A． B． C． D． 3．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，，，交于，若，，则（    ） A．7 B． C．8 D． 题型二：已知两点坐标求距离 4．（23·24九年级上·安徽·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点A，M的坐标分别为，，以点A为圆心，以的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点N，则点N的坐标为（    ）    A． B． C． D． 5．（22·23八年级下·山东济宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B的坐标分别为，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 6．（22·23八年级下·河北邢台·期中）已知在平面直角坐标系中，，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三：勾股数问题 7．（23·24八年级上·江苏宿迁·期末）下列为勾股数的是（    ） A．1，1， B．2，2，4 C．6，8，10 D．9，12，20 8．（23·24八年级上·山东枣庄·阶段练习）下列各组数是勾股数的是（   ） A．4，5，6 B．0.5，1.2，1.3 C．1，2，3 D．5，12，13 9．（23·24八年级上·贵州毕节·期末）下列各组数，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．，， C．，， D．7，24，25 题型四：以直角三角形三边为边长的图形面积 10．（23·24八年级上·广东河源·期末）三个正方形的面积如图，中间三角形为直角三角形，则正方形B的面积为（   ）    A．9 B．144 C．81 D．12 11．（23·24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，于点．分别以为边向外作正方形，得到较大的三个正方形的面积分别为，那么最小的正方形面积为（） A．5 B．6 C．7 D． 12．（23·24八年级上·浙江湖州·期末）如图，在直角三角形中，，以，，为边作正方形，正方形，正方形．设的面积为，