第35期 2.7正方形(答案见37期)-【数理报】2023-2024学年八年级下册数学学案（湘教版）

书 正方形既是矩形，又是菱形．判定一个四边形为正 方形，通常有两种途径：先证明它是矩形，再证明它是菱 形；先证明它是菱形，再证明它是矩形．现举例说明两种 证明思路． 招式一、矩形 ＋一组邻边相等 ＝正方形 例１　 如图１，已知四边 形ＡＢＣＤ是正方形，ＡＢ＝４槡２， 点Ｅ为对角线 ＡＣ上一动点， 连接ＤＥ，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＤＥ， 交射线 ＢＣ于点 Ｆ，以 ＤＥ，ＥＦ 为邻边作矩形 ＤＥＦＧ，连接 ＣＧ． （１）求证：矩形ＤＥＦＧ是正方形； （２）求证：ＣＥ＋ＣＧ＝８． 证明：（１）过点Ｅ分别作ＥＭ⊥ＢＣ于点Ｍ，ＥＮ⊥ＣＤ 于点Ｎ，如图１． 所以∠ＥＭＦ＝∠ＥＮＤ＝∠ＥＮＣ＝９０°． 因为点Ｅ是正方形ＡＢＣＤ对角线上的点， 所以∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ，∠ＢＣＤ＝９０°． 所以ＥＭ ＝ＥＮ，∠ＭＥＮ＝３６０°－∠ＥＭＦ－∠ＥＮＣ －∠ＢＣＤ＝９０°． 因为四边形ＤＥＦＧ是矩形， 所以∠ＤＥＦ＝９０°． 所以∠ＭＥＮ－∠ＦＥＮ＝∠ＤＥＦ－∠ＦＥＮ，即∠ＭＥＦ＝ ∠ＤＥＮ． 在△ＤＥＮ和 △ＦＥＭ中， ∠ＥＮＤ＝∠ＥＭＦ， ＥＮ＝ＥＭ， ∠ＤＥＮ＝∠ＦＥＭ { ， 所以 △ＤＥＮ≌△ＦＥＭ（ＡＳＡ）． 所以ＥＤ＝ＥＦ． 所以矩形ＤＥＦＧ是正方形． （２）因为四边形 ＡＢＣＤ和四边形 ＤＥＦＧ都是正方 形，所以 ＡＤ＝ＣＤ＝ＡＢ＝４槡２，ＤＥ＝ＤＧ，∠ＡＤＣ＝ ∠ＥＤＧ＝９０°． 所以∠ＡＤＣ－∠ＥＤＣ＝∠ＥＤＧ－∠ＥＤＣ，即∠ＡＤＥ ＝∠ＣＤＧ． 在 △ＡＤＥ和 △ＣＤＧ中， ＡＤ＝ＣＤ， ∠ＡＤＥ＝∠ＣＤＧ， ＤＥ＝ＤＧ { ， 所以 △ＡＤＥ≌△ＣＤＧ（ＳＡＳ）． 所以ＡＥ＝ＣＧ． 所以ＣＥ＋ＣＧ＝ＣＥ＋ＡＥ＝ＡＣ＝ ＡＤ２＋ＣＤ槡 ２ ＝８． 招式二、菱形 ＋对角线相等 ＝正方形 例２　如图２，在菱形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交 于点Ｏ，点Ｅ，Ｆ在对角线ＢＤ 上，且ＢＥ＝ＤＦ，ＯＥ＝ＯＡ． 求证：四边形 ＡＥＣＦ是正方 形． 证明：因 为 四 边 形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＣ⊥ ＢＤ，ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ． 因为ＢＥ＝ＤＦ，所以ＯＢ－ＢＥ＝ＯＤ－ＤＦ，即ＯＥ＝ ＯＦ． 所以四边形ＡＥＣＦ是菱形． 因为ＯＥ＝ＯＡ，所以ＥＦ＝２ＯＥ＝２ＯＡ＝ＡＣ． 所以菱形ＡＥＣＦ是正方形． 总结：证明一个四边形是正方形，当已知条件涉及 到垂直时，通常先证明它是矩形，再证明矩形的邻边相 等或对角线垂直；当已知条件中涉及到边相等时，通常 先证明它是菱形，再证明菱形的对角线相等或有一个内 角是直角．这是证明一个四边形是正方形的四种思路， 在具体的证明中，应根据题目的已知条件灵活选择． 书 （上接４版参考答案） １５．因为 ∠ＢＡＦ＝ ∠ＤＡＥ，所以 ∠ＢＡＦ－ ∠ＥＡＦ ＝ ∠ＤＡＥ － ∠ＥＡＦ，即 ∠ＢＡＥ ＝ ∠ＤＡＦ．因 为 四 边 形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所 以∠Ｂ＝∠Ｄ．又ＢＥ＝ ＤＦ， 所 以 △ＡＢＥ ≌ △ＡＤＦ（ＡＡＳ）．所以 ＡＢ ＝ ＡＤ．所以四边 形 ＡＢＣＤ是菱形． １６．（１）因为四边 形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ，ＡＣ ⊥ＢＤ．因为 ＤＦ＝ＢＥ， 所以ＯＢ－ＢＥ＝ＯＤ－ ＤＦ，即 ＯＥ＝ＯＦ．所以 四边形 ＡＥＣＦ是平行四 边形．又ＡＣ⊥ＥＦ，所以 四边形ＡＥＣＦ是菱形． （２）△ＡＤＥ是直角 三角形．理由如下： 因为ＡＣ＝４，ＢＤ＝ ８，所以 ＯＡ＝２，ＯＢ＝ ＯＤ＝４．因为 ＢＥ＝３， 所以ＯＥ＝ＯＢ－ＢＥ＝ １，ＤＥ＝ＢＤ－ＢＥ＝５． 因为 ＡＣ⊥ ＢＤ，所以 ∠ＡＯＥ ＝ ∠ＡＯＤ ＝ ９０°．根据勾股定理，得 ＡＥ２ ＝ＯＡ２＋ＯＥ２ ＝５， ＡＤ２＝ＯＡ２＋ＯＤ２＝２０． 所以ＡＥ２＋ＡＤ２＝ＤＥ２． 所以 △ＡＤＥ是直角三 角形． １７．（１）因为点 Ｅ 为 ＡＢ的中点，所以 ＡＢ ＝２ＡＥ＝２ＢＥ．因为ＡＢ ＝２ＣＤ，所以ＣＤ＝ＡＥ． 又ＡＥ∥ ＣＤ，所以四边 形 ＡＥＣＤ是平行四边 形． 因 为 ＡＣ 平 分 ∠ＤＡＢ，所以 ∠ＤＡＣ＝ ∠ＥＡＣ．因为ＡＢ∥ ＣＤ， 所以∠ＤＣＡ＝∠ＣＡＢ． （下转２，３版中缝） 书 上期２版 ２．６菱形 ２．６．１菱形的性质 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．２０；　４．８０°． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ∥ ＣＤ，ＡＣ⊥ＢＤ．因 为ＤＥ⊥ＢＤ，所以ＤＥ∥ＡＣ．所以四边形ＡＣＤＥ是平行四边形． ６．因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＰ＝ ∠ＣＢＰ．又ＢＰ＝ＢＰ，所以△ＡＢＰ≌△ＣＢＰ（ＳＡＳ）．所以ＰＡ＝ＰＣ． ７．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＢ＝ＡＤ．所以 ∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ．因为 ＡＥ＝ＡＢ，所以 ＡＥ＝ＡＤ．所以 ∠Ｅ＝ ∠ＡＤＥ．所以２∠ＡＤＢ＋２∠ＡＤＥ＝１８０°．所以∠ＡＤＢ＋∠ＡＤＥ