第34期 2.6菱形(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年八年级下册数学学案（湘教版）

书 动点问题是以几何知识和图形为背景，渗入运动变 化观点的一类问题．解决动点问题，有利于发展同学们 的思维，对提高同学们的解题能力也大有益处．这类问 题通过仔细观察图形，分析、归纳与探究图形的变化规 律，抓住图形运动变化中的不变量和变化规律求解．现 将与菱形有关的动点问题列举如下，供同学们参考． 例１　如图１，已知平行四 边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ，ＢＣ＝ １０，∠ＢＣＤ＝６０°，两顶点Ｂ，Ｄ分 别在相互垂直的直线上滑动，两 直线交于点Ｏ，连接ＯＡ，则ＯＡ的 长的最小值是 ． 分析：推断出ＯＡ的长最小时的情况，根据“有一组 邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形ＡＢＣＤ是菱 形，运用菱形的性质以及等边三角形的性质可求出 ＯＡ 的长． 解：过点Ａ作ＡＥ⊥ＢＤ于点Ｅ，连接ＯＥ，如图１．当点 Ａ，Ｏ，Ｅ在一条直线上时，ＯＡ最短．因为四边形 ＡＢＣＤ是 平行四边形，ＡＢ＝ＢＣ，所以四边形 ＡＢＣＤ是菱形．因为 ＢＣ＝１０，∠ＢＣＤ＝６０°，所以ＡＢ＝ＡＤ＝１０，∠ＢＡＤ＝ ６０°．所以△ＡＢＤ是等边三角形．所以ＢＤ＝１０．所以ＤＥ ＝ １２ＢＤ＝５．根据勾股定理，得ＡＥ＝ ＡＤ ２－ＤＥ槡 ２ ＝ 槡５３．因为∠ＢＯＤ＝９０°，ＢＤ＝１０，所以ＥＯ＝５．所以ＯＡ 的最小值为：ＯＡ＝ＡＥ－ＥＯ＝ 槡５３－５． 故填 槡５３－５． 例２　如图２，点 Ｐ，Ｑ分别 是菱形 ＡＢＣＤ的边 ＡＤ，ＢＣ上的 两个动点，若线段 ＰＱ长的最大 值为 槡８５，最小值为 ８，则菱形 ＡＢＣＤ的边长为 （　　） 槡Ａ．４６　　　Ｂ．１０　　　Ｃ．１２　　　Ｄ．１６ 分析：连接ＡＣ，过点Ａ作ＡＥ⊥ＢＣ，交ＣＢ的延长线 于点Ｅ，由题意可得当点Ｐ与点Ａ重合，点Ｑ与点Ｃ重合 时，ＰＱ有最大值，即ＡＣ＝ 槡８５，当ＰＱ⊥ＢＣ时，ＰＱ有最 小值，即直线ＡＤ与直线ＢＣ之间的距离为８，由“平行线 间的距离处处相等”得ＡＥ＝８，由勾股定理可求解． 解：连接ＡＣ，过点Ａ作ＡＥ⊥ＢＣ，交ＣＢ的延长线于 点Ｅ，如图２．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ＝ＢＣ． 因为线段ＰＱ长的最大值为 槡８５，最小值为８，所以ＡＣ＝ 槡８５，ＡＥ＝８．根据勾股定理，得 ＣＥ＝ ＡＣ ２－ＡＥ槡 ２ ＝ １６．在 Ｒｔ△ＡＥＢ中，ＡＢ２ ＝ＢＥ２＋ＡＥ２，即 ＢＣ２ ＝（１６－ ＢＣ）２＋６４．解得ＢＣ＝１０． 故选Ｂ． 书 !"#$%&'() *+,-.&/0 ， 12 3 、 2456789:&; < ． =>?@.ABCDE &;<F ！ ! １　 GH １ IJ&K L4MNOPQRSTU V&!"WX ， YZ[\] ^_#`a ＡＥ b&cd ． e ＡＥ b & c d ` a , ６０ｃｍ， !"&fg ＡＢ＝ ２０ｃｍ， h∠ＤＡＢ&ijQ （　　） Ａ．９０°　　　Ｂ．１００°　　　Ｃ．１２０°　　Ｄ．１５０° "# ： !" ＡＥ， #$%&'()*+,- ＡＣ＝ ２０ｃｍ， #$.()*+/&012()34,- △ＡＢＣ5&012(，6#$&012(/.()*+ 7,89 ． $ ： kl ＡＥ， GH １． mn ＡＥ b&cd`a, ６０ｃｍ， KL4MNOPQRSTUV&!"WX ， I # ＡＣ＝２０ｃｍ． mnof" ＡＢＣＤ Q!" ， I# ＡＢ＝ＢＣ ＝２０ｃｍ，∠ＤＡＢ＝２∠ＢＡＣ．I#ＡＣ＝ＡＢ＝ＢＣ．I# △ＡＢＣQVfSp"．I# ∠ＢＡＣ＝６０°．I# ∠ＤＡＢ ＝１２０°． qr Ｃ． ! ２　 stusv ， sw xyEz{|B “８ }~ ”，  €‚sw&ƒ„ ． GH ２， … TUV!"&fgn １ †‡ ， AˆstR Ａ ‰Š‹Œ ＡＢＣＤＥＦＣＧＡ &Ž!"&f ‘’M ， “” ２０２４ †‡•–= ， h—ˆst–1 ‰ ． "# ： #$.()*+-:;<=>?)@AB ８ CD ， E ２０２４ FG ８， 6H4IJ)K7, ． $ ： mn…TUV!"&fgn １ †‡ ， I#st !"&f“”AT “８ }~ ” &˜™n ：８×１＝８（ C D ）． mn ２０２４÷８＝２５３， I#—ˆst“” ２０２４ † ‡•–=&‰š“” ８ †‡•–=&‰› ． RH_ œ ， “” ８ †‡•–1‰ Ａ． I#—ˆst“” ２０２４ † ‡•–1 Ａ ‰ ． q Ａ． ! ３　 žŸ ¡¢˜£¤&¥¦§¨©ªXe «TUV!"H¬ ， ­®¯AT!"H¬ ， ¥¦giz® ¯ ｄｃｍ， GH ３， °œ­T!"H¬&fgn 槡１０３ｃｍ，± 5AT²pn ６０°． e ｄ＝２６， ³¥¦^< ２３１ T!"H ¬ ， h¥¦&gi ｌ＝ ｃｍ． "# ： #$.()*+8-.(L2M ＢＤ )N