第33期 2.5矩形(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年八年级下册数学学案（湘教版）

书 主线一、有一个角是直角的平行四边形是矩形 例 １　 如图 １，在四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｃ＝９０°，ＡＢ ＝ＣＤ，求证：四边形 ＡＢＣＤ是矩 形． 分析：连接ＢＤ，根据三角形 全等的判定与性质得到 ＡＤ ＝ ＣＢ，得到四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，根据矩形的判定 定理即可得到结论． 证明：连接ＢＤ，如图１． 在 Ｒｔ△ＡＢＤ和 Ｒｔ△ＣＤＢ中， ＢＤ＝ＤＢ， ＡＢ＝ＣＤ{ ，所 以 Ｒｔ△ＡＢＤ≌Ｒｔ△ＣＤＢ（ＨＬ）． 所以ＡＤ＝ＣＢ． 所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． 因为∠Ａ＝９０°， 所以四边形ＡＢＣＤ是矩形． 主线二、对角线相等的平行四边形是矩形 例２　如图２，在ＡＢＣＤ中，Ｅ为ＢＣ的中点，连接 ＡＥ并延长交ＤＣ的延长线于点Ｆ，连接ＢＦ，ＡＣ，若ＡＤ＝ ＡＦ，求证：四边形ＡＢＦＣ是矩形． 分析：根据平行四边形的性 质得到ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ，利用 平行线的性质和“ＡＡＳ”判定 △ＡＢＥ≌ △ＦＣＥ，从而得到 ＡＢ ＝ＣＦ，由已知可得四边形ＡＢＦＣ 是平行四边形，ＢＣ＝ＡＦ，根据“对角线相等的平行四边 形是矩形”可得四边形ＡＢＦＣ是矩形． 证明：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ． 所以∠ＢＡＥ＝∠ＣＦＥ，∠ＡＢＥ＝∠ＦＣＥ． 因为Ｅ为ＢＣ的中点，所以ＥＢ＝ＥＣ． 在 △ＡＢＥ和 △ＦＣＥ中， ∠ＢＡＥ＝∠ＣＦＥ， ∠ＡＢＥ＝∠ＦＣＥ， ＥＢ＝ＥＣ { ， 所以 △ＡＢＥ≌△ＦＣＥ（ＡＡＳ）． 所以ＡＢ＝ＣＦ． 所以四边形ＡＢＦＣ是平行四边形． 因为ＡＤ＝ＡＦ，所以ＢＣ＝ＡＦ． 所以四边形ＡＢＦＣ是矩形． 主线三、三个角是直角的四边形是矩形 例 ３　 如图 ３，在直角三角形 ＡＢＣ中，ＡＣ＝２，ＢＣ＝４，Ｐ为斜边ＡＢ 上一动点，ＰＥ⊥ＢＣ于点Ｅ，ＰＦ⊥ＣＡ 于点Ｆ，则线段ＥＦ长的最小值为 （　　） Ａ．槡５　　　　　　　Ｂ．２ Ｃ．４槡５５ Ｄ． ３ ２ 分析：连接ＰＣ，判定四边形ＥＣＦＰ是矩形，得到ＥＦ＝ ＰＣ，根据垂线段最短，可得当ＣＰ⊥ＡＢ时，ＰＣ最小，根据 等面积法求得ＰＣ的长，即可得到线段ＥＦ长的最小值． 解：连接ＰＣ，如图４． 因为 ＰＥ⊥ ＢＣ，ＰＦ⊥ ＣＡ，所以 ∠ＰＥＣ＝∠ＰＦＣ＝９０°． 又 ∠ＡＣＢ＝９０°，所以四边形 ＥＣＦＰ是矩形． 所以ＥＦ＝ＰＣ． 所以当 ＣＰ⊥ ＡＢ时，ＰＣ的长最 小，ＥＦ的长也最小． 因为ＡＣ＝２，ＢＣ＝４，所以ＡＢ＝ ２２＋４槡 ２ ＝２槡５． 因为 １ ２ＡＣ·ＢＣ＝ １ ２ＡＢ·ＰＣ，所以ＰＣ＝ ＡＣ·ＢＣ ＡＢ ＝ ４槡５ ５． 所以线段ＥＦ长的最小值为４槡５５． 故选Ｃ． 书 矩形是特殊的平行四边形，在有关矩形的求值问题 中，涉及到众多知识点，下面选取几例加以说明，供同学 们参考． 一、矩形和勾股定理 例１　如图１，在矩形ＡＢＣＤ 中，对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ， 点Ｅ，Ｆ分别是ＡＯ，ＡＤ的中点，连 接 ＥＦ，若 ＡＢ ＝６ｃｍ，ＢＣ ＝ ８ｃｍ，则ＥＦ的长是 （　　） Ａ．２．２ｃｍ　　　　　　　Ｂ．２．３ｃｍ Ｃ．２．４ｃｍ Ｄ．２．５ｃｍ 分析：根据矩形的性质得出 ∠ＡＢＣ＝９０°，ＢＤ＝ ＡＣ，ＢＯ＝ＯＤ，根据勾股定理求出ＡＣ的长，进而求出ＯＤ 的长，最后根据三角形的中位线定理即可求出ＥＦ的长． 解：因为四边形ＡＢＣＤ是矩形， 所以∠ＡＢＣ＝９０°，ＢＤ＝ＡＣ，ＯＢ＝ＯＤ． 因为ＡＢ＝６ｃｍ，ＢＣ＝８ｃｍ， 由勾股定理，得ＡＣ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２ ＝１０ｃｍ． 所以ＢＤ＝１０ｃｍ． 所以ＯＤ＝ １２ＢＤ＝５ｃｍ． 因为点Ｅ，Ｆ分别是ＡＯ，ＡＤ的中点， 所以ＥＦ＝ １２ＯＤ＝２．５ｃｍ． 故选Ｄ． 二、矩形和折叠 例２　 如图２，将矩形纸片 ＡＢＣＤ沿ＢＥ折叠，使点Ａ落在对 角线ＢＤ上的Ａ′处．若∠ＤＢＣ＝ ２４°，则∠Ａ′ＥＢ等于 （　　） Ａ．６６° Ｂ．６０° Ｃ．５７° Ｄ．４８° 分析：由矩形的性质得∠Ａ＝∠ＡＢＣ＝９０°，由折叠 的性质得 ∠ＢＡ′Ｅ＝∠Ａ＝９０°，∠Ａ′ＢＥ＝∠ＡＢＥ＝ １ ２（∠ＡＢＣ－∠ＤＢＣ）＝３３°，根据“直角三角形的两个 锐角互余”即可得出答案． 解：因为四边形ＡＢＣＤ是矩形， 所以∠Ａ＝∠ＡＢＣ＝９０°． 由折叠的性质，得∠ＢＡ′Ｅ＝∠Ａ＝９０°，∠Ａ′ＢＥ＝ ∠ＡＢＥ． 因为∠ＤＢＣ＝２４°， 所以∠Ａ′ＢＥ＝∠ＡＢＥ＝ １２（∠ＡＢＣ－∠ＤＢＣ）＝ ３３°． 所以∠Ａ′ＥＢ＝９０°－∠Ａ′ＢＥ＝５７°． 故选Ｃ． 三、矩形和全等三角形 例３　如图３，ＥＦ过矩形ＡＢＣＤ对角线的交点Ｏ，且 分别交ＡＢ，ＣＤ于点Ｅ，Ｆ，若矩形 ＡＢＣＤ的面积是１２，那么阴影部 分的面积是 ． 分析：根据矩形的性质和 “ＡＳＡ” 可 判 定 △ＡＯＥ ≌ △ＣＯＦ，可得 Ｓ△ＡＯＥ ＝Ｓ△Ｃ