第28期 1.2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年八年级下册数学学案（湘教版）

书 在实际问题中，有一些题目并不具备勾股定理的模 型，要想顺利地解答题目，首先需构造直角三角形，现举 例分析如下，供同学们参考． 例１　如图１，两树高分别为１０米和４米，相距８米， 一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，问小鸟至少飞 行 米． 分析：本题考查了勾股定理的应用，根据实际问题 抽象出数学图形，作垂线构造直角三角形，利用勾股定 理即可求出结果． 解：如图２，大树的高ＡＢ＝１０米，小树的高ＣＤ＝４米． 过点Ｃ作ＣＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，连接ＡＣ，则四边形ＥＢＤＣ 是长方形． 所以ＥＢ＝ＣＤ＝４米，ＥＣ＝ＢＤ＝８米．所以ＡＥ＝ ＡＢ－ＥＢ＝６米． 在 Ｒｔ△ＡＥＣ中， 根 据 勾 股 定 理， 得 ＡＣ ＝ ＡＥ２＋ＥＣ槡 ２ ＝１０米． 故填１０． 例２　如图３是高空秋千的示意图，小明从起始位 置点Ａ处绕着点Ｏ经过最低点Ｂ，最终荡到最高点Ｃ处． 若∠ＡＯＣ＝９０°，点Ａ与点Ｂ的 高度差ＡＤ＝１米，水平距离ＢＤ ＝４米，则点Ｃ与点Ｂ的高度差 ＣＥ为 米． 分析：如图３，过点Ａ作ＡＦ ⊥ＢＯ于点Ｆ，过点 Ｃ作 ＣＧ⊥ ＢＯ于点Ｇ．根据“ＡＡＳ”可证△ＡＯＦ≌△ＯＣＧ，再根据全 等三角形的性质可得ＯＧ＝４米．在Ｒｔ△ＡＦＯ中，根据勾 股定理可求ＡＯ和ＯＢ，最后根据线段的和差关系和等量 关系即可求出点Ｃ与点Ｂ的高度差ＣＥ． 解：如图３，过点Ａ作ＡＦ⊥ＢＯ于点Ｆ，过点Ｃ作ＣＧ ⊥ＢＯ于点Ｇ．所以∠ＡＦＯ＝∠ＯＧＣ＝９０°． 因为 ∠ＡＯＣ＝∠ＡＯＦ＋∠ＣＯＧ＝９０°，∠ＡＯＦ＋ ∠ＯＡＦ＝９０°，所以∠ＣＯＧ＝∠ＯＡＦ． 在△ＡＯＦ和△ＯＣＧ中，∠ＡＦＯ＝∠ＯＧＣ，∠ＯＡＦ＝ ∠ＣＯＧ，ＡＯ＝ＯＣ， 所以△ＡＯＦ≌△ＯＣＧ（ＡＡＳ）． 所以ＯＧ＝ＡＦ＝ＢＤ＝４米． 设ＡＯ＝ｘ米． 在Ｒｔ△ＡＦＯ中，由勾股定理，得ＡＦ２＋ＯＦ２ ＝ＡＯ２， 即４２＋（ｘ－１）２ ＝ｘ２． 解得ｘ＝８．５． 所以ＣＥ＝ＧＢ＝ＯＢ－ＯＧ＝４．５米． 故填４．５． 书 在学习了勾股定理后，我们经常会遇到求最短路径 的问题，现针对该类问题选取三例分析如下，供同学们 参考． 一、圆柱中的最短路径 例１　如图１，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不 计）的高为１２ｃｍ，底面周长为１０ｃｍ，在容器内壁离容 器底部３ｃｍ的点Ｂ处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容 器外壁，且离容器上沿３ｃｍ的点Ａ处，则蚂蚁吃到饭粒 需爬行的最短路径是 ｃｍ． 解：如图２，将容器沿侧面展开，ＥＦ为底面周长的一 半，作点Ａ关于ＥＦ的对称点Ａ′，连接Ａ′Ｂ交ＥＦ于点Ｃ， 连接ＡＣ，过点Ａ′作Ａ′Ｄ⊥ＢＤ于点Ｄ，此时Ａ′Ｂ＝ＡＣ＋ ＢＣ，Ａ′Ｂ的长度即为蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径． 由题意可知，高为１２ｃｍ，底面周长为１０ｃｍ，ＡＥ＝３ｃｍ． 所以Ａ′Ｄ＝５ｃｍ，ＢＤ＝１２－３＋３＝１２（ｃｍ）．在Ｒｔ△Ａ′ＢＤ 中，由勾股定理，得Ａ′Ｂ＝ Ａ′Ｄ２＋ＢＤ槡 ２ ＝１３ｃｍ． 故填１３． 二、长方体中的最短路径 例２　如图３，一个长方体的底面边长分别为２ｃｍ 和４ｃｍ，高为５ｃｍ．若一只蚂蚁从Ｐ点开始经过４个侧 面爬行一圈到达 Ｑ点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 ｃｍ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　解：如图４，将长方体沿侧面展开成一个长方形，则 ＰＱ的长即为蚂蚁爬行的最短路径．由题意可知，ＰＡ＝４ ＋２＋４＋２＝１２（ｃｍ），ＡＱ＝５ｃｍ．在Ｒｔ△ＡＰＱ中，由勾 股定理，得ＰＱ＝ ＰＡ２＋ＡＱ槡 ２ ＝１３ｃｍ． 故填１３． 例３　如图５，长方体的高为８ｃｍ， 底边是边长为４ｃｍ的正方形，Ｐ点距离Ｆ 点２ｃｍ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的 表面从Ａ点爬到Ｐ点，则蚂蚁爬行的最短 距离是 ｃｍ． 解：①如图６，将长方体展开，前面与 右面这个侧面所在的平面形成长方形ＡＣＧＥ． 因为ＥＦ＝４，ＰＦ＝２，ＡＥ＝８， 所以ＰＥ＝ＥＦ＋ＰＦ＝６． 在Ｒｔ△ＡＰＥ中，根据勾股定理，得ＡＰ２ ＝ＰＥ２＋ＡＥ２ ＝６２＋８２ ＝１００，即ＡＰ＝１０． ②如图７，将长方体展开，前面与上面所在的平面形 成长方形ＡＢＧＨ． 因为ＡＢ＝４，ＢＦ＝８，ＰＦ＝２， 所以ＢＰ＝ＢＦ＋ＰＦ＝１０． 在Ｒｔ△ＡＢＰ中，根据勾股定理，得ＡＰ２ ＝ＡＢ２＋ＢＰ２ ＝４２＋１０２ ＝１１６． ③如图８，将长方体展开，下面与右面这个侧面所在 的平面形成长方形ＡＤＧＦ． 因为ＡＢ＝４，ＢＦ＝８，ＰＦ＝２， 所以ＡＦ＝ＡＢ＋ＢＦ＝１２． 在Ｒｔ△ＡＰＦ中，根据勾股定理，得ＡＰ２ ＝ＡＦ２＋ＰＦ２ ＝１２２＋２２ ＝１４８． 因为１００＜１１６＜１４８， 所以蚂蚁爬行的最短距离是１０ｃｍ． 故填１０． 书 !"#$%&'(%)* ａ，ｂ，ｃ +, ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２， -./$%&'01&%&' ． 23/$45 ， 6789 :;1&%&' ． :