第27期 8.1角的表示-8.3 角的度量(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年七年级下册数学学案（青岛版）

书 在角的学习中，有关时钟的求角问题是同学们感觉 最困难的问题．解答它们时，应了解和利用时钟表面上 时针和分针的一些基本知识： １．时钟表面都可以看成一个周角，上面有１２个大 格，６０个小格，每个大格对应的圆心角为：３６０°÷１２＝ ３０°，每个小格对应的圆心角为：３６０°÷６０＝６°． ２．时针每小时转过１个大格，即转过３０°，每分钟转 过 １ ６０个大格或 １ １２个小格，即转过０．５°；分针每小时转过 １２个大格，即转过３６０°，每分钟转过 １５个大格或１个小 格，即转过６°． 一、时针与分针转过的角度 例１　如图１，图２，当钟表由３时３０分走到３时 ５５分时，时针、分针各转过了多少度？ 解析：表针由３时３０分走到３时５５分，历时２５分钟． 因为时针每分钟转过０．５°，分针每分钟转过６°，所以由 ３时３０分走到３时５５分时，时针转过的度数为：０．５°× ２５＝１２．５°，分针转过的度数为：６°×２５＝１５０°． 二、整点时刻时针与分针的夹角 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例２　如图３，钟表上１０时整，时针与分针构成的角 是 （　　） Ａ．３０° Ｂ．６０° Ｃ．９０° Ｄ．１２０° 解析：因为钟表上１０时整，分针 指向数字１２，时针指向数字１０，时针与 分针中间相距２个大格，每大格之间 的夹角为３０°，所以１０时整，时针与分 针构成的角是：２×３０°＝６０°．故选Ｂ． 三、任意时刻时针与分针的夹角 例３　如图４，图５，分别确定下列 两个时钟表面上时针和分针构成角的度数． 解析：先分别确定两个时钟表面上的时针从对应的 整时出发，各转过了几个大格． 在第一个时钟表面上，从 ８时整出发，走到 ８时 ２５分时，时针转过了 １６０×２５＝ ５ １２个大格．所以在８时 ２５分时，时针和分针相距（３＋５１２）个大格，所成的角 ＝ （３＋５１２）×３０°＝１０２．５°． 在第二个时钟表面上，从 ２时整出发，走到 ２时 ４０分时，时针转过了 １６０×４０＝ ２ ３个大格．所以在２时 ４０分时，时针和分针相距（６－２３）个大格，构成的角 ＝ （６－２３）×３０°＝１６０°． 书 一、求角 例１　将一副三角尺按如图１所 示的方式放置，则∠ＡＯＢ的度数为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３０° Ｂ．４５° Ｃ．７５° Ｄ．８０° 分析：根据三角尺的度数，可知 ∠ＡＯＣ＝３０°，∠ＢＯＣ＝４５°，由此即可 得出∠ＡＯＢ的度数． 解：因为∠ＡＯＣ＝３０°，∠ＢＯＣ＝４５°，所以 ∠ＡＯＢ ＝∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＣ＝７５°．故选Ｃ． 二、画角 例２　利用一副三角尺可画出一些特殊角，如：３０°， ４５°，６０°，９０°．你能利用一副三角尺画出７５°和１５°的角 吗？请试一试． 分析：一副三角尺有两个直角，其中一个三角尺是 有两个角为４５°的直角三角形，另一个三角尺是含３０° 角的直角三角形，通过３０°和４５°这两个角之间的和、差 关系即可画出７５°和１５°的角． 解：摆放方式如图２时，加弧线的角为：４５°＋３０°＝ ７５°；摆放方式如图３时，加弧线的角为：４５°－３０°＝１５°． 三、比角 例３　 把一副三角尺按如图 ４所示拼在一起，用“＜”将 ∠Ａ， ∠Ｂ，∠ＢＣＤ，∠Ｄ，∠ＡＥＤ连接起来． 分析：观察图形，明确一副三 角尺中每一个角的度数，并结合 平角的定义即可写出各个角的度 数，再比较大小． 解：观察图形可知，∠Ａ＝３０°，∠Ｂ＝９０°，∠ＢＣＤ＝ ６０°＋９０°＝１５０°，∠Ｄ＝４５°，∠ＡＥＤ＝１８０°－４５°＝ １３５°．所以∠Ａ＜∠Ｄ＜∠Ｂ＜∠ＡＥＤ＜∠ＢＣＤ． 四、写角 例４　如图５，将一副三 角尺的顶点重合． （１）写出图中所有以点 Ｏ为顶点且小于平角的角； （２）∠ＡＯＢ与∠ＤＯＣ之 间具有怎样的数量关系？请说明理由． 分析：（１）平角的度数是１８０°，把以点 Ｏ为顶点且 小于１８０°的角写出来即可；（２）结合图形及角度的和、 差关系，可得出∠ＡＯＢ和∠ＤＯＣ的关系． 解：（１）图中所有以点 Ｏ为顶点且小于平角的角 有：∠ＡＯＤ，∠ＡＯＣ，∠ＡＯＢ，∠ＤＯＣ，∠ＤＯＢ，∠ＣＯＢ． （２）∠ＡＯＢ＝１８０°－∠ＤＯＣ．理由如下： 因为∠ＡＯＣ＝９０°，所以∠ＡＯＤ＝９０°－∠ＤＯＣ． 因为∠ＤＯＢ＝９０°，所以∠ＡＯＢ＝∠ＡＯＤ＋∠ＤＯＢ ＝９０°－∠ＤＯＣ＋９０°＝１８０°－∠ＤＯＣ． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " !" #$% ! &' ( ) ! " # $ % ! ! ! " # $ & ! " #$ % & ' ! " ( ) * + #, %% !"#$% ! ' %$ % $ ' ! " ( ) * + %, %% ! " %$ % $ '