第29期 6.3 特殊的平行四边形(正方形) 6.4 三角形的中位线定理(答案见31期)-【数理报】2023-2024学年八年级下册数学学案（青岛版）

书 正方形既是矩形，又是菱形．判定一个四边形为正 方形，通常有两种途径：先证明它是矩形，再证明它是菱 形；先证明它是菱形，再证明它是矩形．现举例说明两种 证明思路． 一、矩形 ＋一组邻边相等 ＝正方形 例１　如图１，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝ＤＣ，∠ＡＤＣ ＝∠ＡＢＣ＝９０°，ＤＥ⊥ＡＢ．若四边形ＡＢＣＤ的面积为１６， 则ＤＥ的长为 （　　） Ａ．３ Ｂ．２ Ｃ．４ Ｄ．８ 解：如图２，过点Ｄ作ＢＣ的垂线，交ＢＣ的延长线于 点Ｆ，则∠Ｆ＝９０°． 因为ＤＥ⊥ＡＢ，所以∠ＡＥＤ＝∠ＤＥＢ＝９０°． 因为∠ＡＢＣ＝９０°，所以四边形ＤＥＢＦ是矩形． 所以∠ＥＤＦ＝９０°． 因为∠ＡＤＣ＝９０°， 所以∠ＡＤＣ－∠ＥＤＣ＝∠ＥＤＦ－∠ＥＤＣ，即∠ＡＤＥ ＝∠ＣＤＦ． 在△ＡＤＥ与△ＣＤＦ中， ∠ＡＥＤ＝∠Ｆ， ∠ＡＤＥ＝∠ＣＤＦ， ＡＤ＝ＣＤ { ， 所以△ＡＤＥ≌△ＣＤＦ（ＡＡＳ）． 所以ＤＥ＝ＤＦ． 所以四边形ＤＥＢＦ是正方形． 所以 Ｓ正方形ＤＥＢＦ ＝Ｓ四边形ＢＣＤＥ ＋Ｓ△ＣＤＦ ＝Ｓ四边形ＢＣＤＥ ＋ Ｓ△ＡＤＥ ＝Ｓ四边形ＡＢＣＤ ＝１６． 所以ＤＥ＝４． 故选Ｃ． 二、菱形 ＋对角线相等 ＝正方形 例２　如图３，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ ＡＣ，ＡＤ是ＢＣ边上的中线，点Ｅ是ＡＤ 上一点，过点Ｂ作ＢＦ∥ＥＣ，交ＡＤ的 延长线于点Ｆ，连接ＢＥ，ＣＦ． （１）求证：△ＢＤＦ≌△ＣＤＥ； （２）若ＤＥ＝ １２ＢＣ，求证：四边形ＢＥＣＦ是正方形． 证明：（１）因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是ＢＣ边上的中线， 所以ＢＤ＝ＣＤ． 因为ＢＦ∥ＥＣ，所以∠ＤＢＦ＝∠ＤＣＥ． 由对顶角相等，得∠ＢＤＦ＝∠ＣＤＥ． 在△ＢＤＦ与△ＣＤＥ中， ∠ＤＢＦ＝∠ＤＣＥ， ＢＤ＝ＣＤ， ∠ＢＤＦ＝∠ＣＤＥ { ， 所以△ＢＤＦ≌△ＣＤＥ（ＡＳＡ）． （２）因为△ＢＤＦ≌△ＣＤＥ，所以ＢＦ＝ＣＥ． 因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是ＢＣ边上的中线， 所以ＡＦ垂直平分ＢＣ． 所以ＢＥ＝ＣＥ＝ＢＦ＝ＣＦ． 所以四边形ＢＥＣＦ是菱形． 所以ＤＥ＝ １２ＥＦ． 因为ＤＥ＝ １２ＢＣ，所以ＥＦ＝ＢＣ． 所以四边形ＢＥＣＦ是正方形． 总结：证明一个四边形是正方形，当已知条件涉及 到垂直时，通常先证明是矩形，再证明矩形的邻边相等 或对角线垂直；当已知条件涉及到边相等时，通常先证 明它是菱形，再证明菱形的对角线相等或有一个内角是 直角．这是证明一个四边形是正方形的两种思路，在具 体的证明中，应根据题目的已知条件灵活选择． 书 应用一、求角度 例１　如图１，在正方 形ＡＢＣＤ中，等边三角形 ＡＥＦ的顶点Ｅ，Ｆ分别在边 ＢＣ和 ＣＤ上，则 ∠ＡＥＢ＝ 度． 解析：因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以 ＡＢ ＝ＡＤ，∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°． 因为△ＡＥＦ是等边三 角形，所以ＡＥ＝ＡＦ． 在 Ｒｔ△ＡＢＥ 与 Ｒｔ△ＡＤＦ中， 因为 ＡＢ＝ＡＤ，ＡＥ＝ ＡＦ， 所以△ＡＢＥ≌△ＡＤＦ（ＨＬ）． 所以∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＦ＝（９０°－６０°）÷２＝１５°． 所以∠ＡＥＢ＝９０°－１５°＝７５°． 故填７５． 应用二、证全等 例２　如图２，在正方形 ＡＢＣＤ中， 连接ＢＤ，点Ｏ是ＢＤ的中点．若Ｍ，Ｎ是 边ＡＤ上的两点，连接ＭＯ，ＮＯ，并分别延 长交边ＢＣ于两点Ｍ′，Ｎ′，则图中的全等 三角形共有 （　　） Ａ．２对　　　　　　Ｂ．３对 Ｃ．４对 Ｄ．５对 解析：因为Ｏ是正方形对角线的中点， 所以ＯＢ＝ＯＤ． 因为四边形ＡＢＣＤ是正方形， 所以ＡＤ∥ＢＣ． 所以∠ＮＤＯ＝∠Ｎ′ＢＯ． 又因为∠ＢＯＮ′＝∠ＤＯＮ， 所以由“ＡＳＡ”可证明△ＮＯＤ≌△Ｎ′ＯＢ． 同 理， 证 明 △ＮＯＭ ≌ △Ｎ′ＯＭ′，△ＭＯＤ ≌ △Ｍ′ＯＢ，△ＡＢＤ≌△ＣＤＢ． 故选Ｃ． 应用三、求长度 例３　如图３，正方形ＡＢＣＤ的边 长为４，Ｅ，Ｆ分别是ＢＣ，ＡＤ的中点，将 △ＡＢＧ沿ＢＧ折叠，使得点 Ａ落在 ＥＦ 上，交ＥＦ于点Ｐ，连接 ＰＣ，过点 Ｄ作 ＤＨ⊥ＰＣ，垂足为点Ｈ，求ＤＨ的长． 解析：因为Ｅ，Ｆ分别是ＢＣ，ＡＤ的 中点，正方形ＡＢＣＤ的边长为４， 所以ＢＥ＝ＣＥ＝２，ＥＦ⊥ＢＣ． 所以ＰＢ＝ＰＣ． 根据折叠的性质可得ＢＰ＝ＢＡ＝４． 又因为∠ＰＥＢ＝９０°，所以∠ＢＰＥ＝３０°． 所以∠ＣＰＥ＝３０°． 因为ＣＤ∥ＰＥ，所以∠ＤＣＨ＝３０°． 因为ＤＨ⊥ＣＨ，所以ＤＨ＝ １２ＣＤ＝２． 书 三角形中位线定理在一个题设下，有两个结论：一 个是线段之间的位置关系，另一个是线段之间的数量关 系．这个定理在证明、计算、作图中都有广泛的应用，是 三角形的重要性质之一．当三角形中有中点时，往往借 助三角形中位线来解决相关问题． 一、求角度 例１　 如图１，Ｍ，Ｎ分别是 △ＡＢＣ的边 ＡＢ，ＡＣ的中点．若 ∠Ａ＝６５°，∠ＡＮＭ＝４５°