第28期 6.3 特殊的平行四边形(矩形、菱形)(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年八年级下册数学学案（青岛版）

书 上期２版 ６．１平行四边形及其性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．Ｂ；　４．１５２；　５． ３ ２． ６．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ＝ＣＤ， ＢＣ＝ＡＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ．因为△ＢＣＥ和△ＣＤＦ都是 等边三角形，所以ＣＤ＝ＤＦ，ＢＣ＝ＢＥ，∠ＥＢＣ＝∠ＣＤＦ ＝６０°．所以 ＡＢ＝ＤＦ，ＢＥ＝ＡＤ，∠ＡＢＣ＋∠ＥＢＣ＝ ∠ＡＤＣ＋∠ＣＤＦ，即 ∠ＡＢＥ＝∠ＦＤＡ．所以 △ＡＢＥ≌ △ＦＤＡ（ＳＡＳ）．所以ＡＥ＝ＡＦ． ７．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，∠Ｂ＝ ６０°，所以 ＡＤ∥ ＢＣ，∠Ｄ＝∠Ｂ＝６０°．所以 ∠ＢＡＤ＝ １８０°－∠Ｂ＝１２０°．因为ＡＥ⊥ＢＣ，ＡＦ⊥ＣＤ，所以∠ＡＥＢ ＝∠ＡＦＤ＝９０°．所以∠ＢＡＥ＝９０°－∠Ｂ＝３０°，∠ＤＡＦ ＝９０°－∠Ｄ＝３０°．所以 ∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＤ－∠ＢＡＥ－ ∠ＤＡＦ＝６０°． 能力提高　８．Ｂ． ９．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ∥ ＢＣ，∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ，ＡＤ＝ＢＣ．所以∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ． 因为 ＢＥ，ＡＤ分别平分 ∠ＡＢＣ，∠ＡＤＣ，所以 ∠ＡＤＧ＝ １ ２∠ＡＤＣ，∠ＣＢＥ＝ １ ２∠ＡＢＣ．所以∠ＡＤＧ＝∠ＣＢＥ．所 以△ＡＤＧ≌△ＣＢＥ（ＡＳＡ）．所以∠ＡＧＤ＝∠ＣＥＢ，ＤＧ＝ ＢＥ．所以１８０°－∠ＡＧＤ＝１８０°－∠ＣＥＢ，即 ∠ＤＧＥ＝ ∠ＢＥＧ．所以ＢＥ∥ＤＧ． （２）过点Ｅ作 ＥＨ⊥ ＢＣ交 ＢＣ于点 Ｈ，图略．因为 ＡＢＣＤ的周长是２４，所以ＡＢ＋ＢＣ＝１２．因为ＢＥ平分 ∠ＡＢＣ，ＥＦ⊥ＡＢ，ＥＨ⊥ ＢＣ，所以 ＥＦ＝ＥＨ＝３．所以 Ｓ△ＡＤＣ ＝Ｓ△ＡＢＣ ＝Ｓ△ＡＢＥ＋Ｓ△ＢＣＥ ＝ １ ２ＡＢ·ＥＦ＋ １ ２ＢＣ·ＥＨ ＝１８． ６．２平行四边形的判定 基础训练　１．Ｂ；　２．Ａ；　３．Ｄ；　４．是． ５．因为ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２＝２ａｃ＋２ｂｄ，所以（ａ－ｃ）２ ＋（ｂ－ｄ）２＝０．所以ａ＝ｃ，ｂ＝ｄ．所以四边形ＡＢＣＤ是 平行四边形． ６．由对顶角相等，得∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＤ．在△ＡＯＥ和 △ＣＯＤ中，因为 ∠ＥＡＯ＝∠ＤＣＯ，ＡＯ＝ＣＯ，∠ＡＯＥ＝ ∠ＣＯＤ，所以△ＡＯＥ≌△ＣＯＤ（ＡＳＡ）．所以ＯＥ＝ＯＤ．所 以四边形ＡＥＣＤ是平行四边形． ７．连接ＤＦ，图略．因为Ｅ是ＡＤ的中点，所以 ＡＥ＝ ＤＥ．因为ＢＥ＝ＥＦ，所以四边形ＡＢＤＦ是平行四边形．所 以ＡＦ＝ＢＤ，ＡＦ∥ＢＤ．因为ＡＤ是ＢＣ边上的中线，所以 ＣＤ＝ＢＤ．所以ＡＦ＝ＣＤ．所以四边形ＡＤＣＦ是平行四边 形． 能力提高　８．Ｂ；　９．４． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ａ Ｄ Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ 二、９．１４；　１０．１１８°；　１１．ＡＢ∥ＣＤ或ＡＤ＝ＢＣ； １２．３０°；　１３．６；　１４．１０３或１０． 三、１５．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ． 因为ＡＥ＝ＣＦ， 所以ＯＡ＋ＡＥ＝ＯＣ＋ＣＦ，即ＯＥ＝ＯＦ． 因为ＢＧ＝ＤＨ， 所以ＯＢ－ＢＧ＝ＯＤ－ＤＨ，即ＯＧ＝ＯＨ． 所以四边形ＥＧＦＨ是平行四边形． １６．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ＢＣ． 所以∠ＡＥＢ＝∠ＤＡＥ． 因为ＡＢ＝ＡＥ， 所以∠Ｂ＝∠ＡＥＢ． 所以∠Ｂ＝∠ＤＡＥ． 在△ＡＢＣ和△ＥＡＤ中， 因为ＡＢ＝ＥＡ，∠Ｂ＝∠ＤＡＥ，ＢＣ＝ＡＤ， 所以△ＡＢＣ≌△ＥＡＤ（ＳＡＳ）． １７．（１）因为ＢＤ是△ＡＢＣ的角平分线， 所以∠ＣＢＤ＝∠ＥＢＤ． 因为ＥＤ∥ＢＣ， 所以∠ＣＢＤ＝∠ＥＤＢ． 所以∠ＥＢＤ＝∠ＥＤＢ． 所以ＢＥ＝ＥＤ． 因为ＢＥ＝ＣＦ， 所以ＥＤ＝ＣＦ． 又因为ＥＤ∥ＦＣ， 所以四边形ＥＦＣＤ是平行四边形． （２）因为ＢＤ是△ＡＢＣ的角平分线，∠ＡＢＣ＝６０°， 所以∠ＡＢＤ＝ １２∠ＡＢＣ＝３０°． 因为∠ＡＤＢ＝１００°， 所以∠Ａ＝１８０°－∠ＡＢＤ－∠ＡＤＢ＝５０°． 因为四边形ＥＦＣＤ是平行四边形， 所以ＥＦ∥ＡＣ． 所以∠ＡＥＦ＝１８０°－∠Ａ＝１３０°． 书 一、从菱形的定义考虑 例１　如图１，△ＡＢＣ与△ＣＤＥ 都是等边三角形，点 Ｅ，Ｆ分别在 ＡＣ，ＢＣ上，且 ＥＦ∥ ＡＢ．求证：四边 形ＥＦＣＤ是菱形． 分析：先判断四边形ＥＦＣＤ是平 行四边形，再判断ＣＤ＝ＤＥ，利用“有 一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可得出结论． 证明：因为△ＡＢＣ与△ＣＤＥ都是等边三角形， 所以ＥＤ＝ＣＤ，∠Ａ＝∠ＤＣＥ＝∠ＢＣＡ＝∠ＤＥＣ＝６０°． 所以ＡＢ∥ＣＤ，ＤＥ∥ＣＦ． 又因为ＥＦ∥ＡＢ，所以ＥＦ∥ＣＤ． 所以四边形ＥＦＣＤ是平行四边形． 又因为ＥＤ＝ＣＤ， 所以平行四边形ＥＦＣＤ是菱形． 二、从四条边的数量关系考虑 例２　 如图２，在 △Ａ