第27期 6.1 平行四边形及其性质 6.2 平行四边形的判定(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年八年级下册数学学案（青岛版）

书 平行四边形的性质 有：①平行四边形的对边 相等；② 平行四边形的对 角相等；③ 平行四边形的 对角线互相平分．利用这 些性质，可以巧妙地进行 平行四边形中的有关计 算． 一、求线段的比 例 １　 如 图 １，在 ＡＢＣＤ中，已知 ＡＢ＝３， ＢＣ＝５，∠ＡＢＣ的平分线 交ＣＤ的延长线于点Ｅ，交 ＡＤ于点Ｆ，则ＡＦ∶ＦＤ＝ （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２∶１ Ｂ．３∶２ Ｃ．４∶３ Ｄ．无法确定 分析：利用平行四边形的性质可得ＡＤ＝ＢＣ＝５， ＡＤ∥ＢＣ，然后利用角平分线的定义和平行线的性质可 得△ＡＢＦ是等腰三角形，从而可得ＡＦ＝ＡＢ＝３，进而 求出ＤＦ的长，由此即可解答． 解：因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＤ＝ ＢＣ＝５，ＡＤ∥ＢＣ．所以∠ＡＦＢ＝∠ＦＢＣ．因为ＢＦ平分 ∠ＡＢＣ，所以∠ＡＢＦ＝∠ＦＢＣ．所以∠ＡＢＦ＝∠ＡＦＢ．所 以 ＡＦ＝ＡＢ＝３．所以ＦＤ＝ＡＤ－ＡＦ＝２．所以ＡＦ∶ＦＤ ＝３∶２．故选Ｂ． 二、求边长 例２　已知ＡＢＣＤ的周长为３６，两邻边的差为４， 则ＡＢＣＤ较短边的长是 （　　） Ａ．７ Ｂ．１１ Ｃ．１４ Ｄ．２２ 分析：根据平行四边形的对边相等可得ＡＢ＝ＣＤ， ＡＤ＝ＢＣ，由平行四边形的周长为３６，两邻边之差为４ 即可求得这个平行四边形较短边的长． 解：设ＢＣ＞ＡＢ．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ．因为ＡＢＣＤ的周长为３６，所 以ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝３６．所以ＡＢ＋ＢＣ＝１８．因为 ＢＣ－ＡＢ＝４，所以ＢＣ＝１１，ＡＢ＝７．所以ＡＢＣＤ较短 边的长是７．故选Ａ． 三、求角度 例 ３　 如图 ２，在 ＡＢＣＤ中，已知 ∠Ａ＋ ∠Ｃ＝２６０°，则∠Ｂ的度 数是 （　　） Ａ．４５°　　　Ｂ．５０° Ｃ．５５°　　　Ｄ．６０° 分析：由平行四边形的性质可知 ∠Ａ＝∠Ｃ＝ １３０°，由此即可求解． 解：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ∠Ａ＝ ∠Ｃ，∠Ａ＋∠Ｂ＝１８０°．因为 ∠Ａ＋∠Ｃ＝２６０°，所以 ∠Ａ＝∠Ｃ＝１３０°．所以∠Ｂ＝１８０°－∠Ａ＝５０°．故选 Ｂ． 四、求周长 例 ４　 如图 ３，在 ＡＢＣＤ中，ＢＣ ＝１０， ＡＣ＝８，ＢＤ ＝１４，则 △ＢＯＣ的周长是 （　　） Ａ．２０ Ｂ．２１ Ｃ．２３ Ｄ．３２ 分析：根据平行四边形的对角线互相平分可得 ＡＯ ＝ＣＯ＝ １２ＡＣ＝４，ＢＯ＝ＤＯ＝ １ ２ＢＤ＝７，再根据 △ＢＯＣ的周长 ＝ＯＢ＋ＯＣ＋ＢＣ即可求解． 解：因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＯ＝ ＣＯ＝１２ＡＣ＝４，ＢＯ＝ＤＯ＝ １ ２ＢＤ＝７．所以△ＢＯＣ的 周长是：ＯＢ＋ＯＣ＋ＢＣ＝２１．故选Ｂ． 书 平行四边形具有丰富的性质，与平行四边形相关 的考题也多种多样，其中与角平分线有关的问题是近 几年模拟命题的热点．下面选取几例加以说明，供同学 们参考． 一、已知平行四边形一个角的平分线 例１　如图１，在ＡＢＣＤ中， ∠ＡＢＣ的平分线交ＡＤ于点Ｅ，且 ∠ＢＥＡ＝３０°，则∠Ａ的大小为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１５０° Ｂ．１３０° Ｃ．１２０° Ｄ．１００° 分析：由平行四边形的性质和平行线的性质得出 ∠ＡＥＢ＝∠ＣＢＥ，由角平分线的定义得出 ∠ＡＢＥ的度 数，再由三角形内角和定理即可得解． 解：因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ．因为∠ＢＥＡ＝３０°，所以∠ＣＢＥ＝∠ＢＥＡ＝３０°．因 为ＢＥ平分∠ＡＢＣ，所以 ∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＥ＝３０°．所以 ∠Ａ＝１８０°－∠ＡＢＥ－∠ＢＥＡ＝１２０°．故选Ｃ． 二、已知平行四边形一组邻角的平分线 例 ２　 如图 ２，在 ＡＢＣＤ中， ∠ＡＢＣ的平分线交ＡＤ于点Ｅ，∠ＢＣＤ 的平分线交ＡＤ于点Ｆ．若ＡＢ＝３，ＡＤ ＝４，则ＥＦ的长是 ． 分析：根据平行四边形的性质和 角平分线的性质得到ＤＦ＝ＤＣ，ＡＥ＝ＡＢ，进而可得解． 解：因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＤ∥ ＣＢ，ＡＢ＝ＤＣ＝３．所以 ∠ＣＢＥ＝∠ＡＥＢ，∠ＢＣＦ＝ ∠ＣＦＤ．因为 ＢＥ平分 ∠ＡＢＣ，ＣＦ平分 ∠ＢＣＤ，所以 ∠ＡＢＥ ＝∠ＣＢＥ，∠ＤＣＦ ＝∠ＢＣＦ．所以 ∠ＡＢＥ ＝ ∠ＡＥＢ，∠ＤＦＣ＝∠ＤＣＦ．所以ＡＥ＝ＡＢ＝３，ＤＦ＝ＤＣ ＝３．因为ＡＤ＝４，所以ＡＦ＝ＡＤ－ＤＦ＝１．所以ＥＦ＝ ＡＥ－ＡＦ＝２．故填２． 三、已知平行四边形一组对角的平分线 例３　如图３，点 Ｅ，Ｆ分别在 ＡＢＣＤ的ＢＣ，ＡＤ边上．若ＡＥ平分 ∠ＢＡＤ，ＣＦ平分 ∠ＢＣＤ，求证：ＡＦ ＝ＣＥ． 分析：根据平行四边形的性质证得 △ＡＢＥ≌ △ＣＤＦ，可得ＢＥ＝ＤＦ，进而可得结论． 证明：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以∠Ｂ＝ ∠