第19章 矩形、菱形与正方形 整理与复习-【一线调研】2023-2024学年八年级下册数学单元整合卷（华东师大版）

! " # $ % —４１— —４２— ·数学八年级下·ＨＳ· 第十九章整理与复习 数　学 !" #$ !"#$%： '(!)*$%： !+,-$：. ' . ' 知 识 点 一 二 三 总 分 得　分 （“思维导图＋知识点整理”共２０分钟，“点对点练习”满分１００分，时间９０分钟） 矩形、菱形与正方形 矩形 定义、性质 判定 三个角是直角的四边形{{ 对角线相等的平行四边形 菱形 定义、性质 判定 四边相等的四边形{{ 对角线互相垂直的平行四边形 正方形 性质：边、角和对角线 判定 邻边相等的矩形{{            有一个角是直角的菱形 　矩形 １．定义：有一个角是　　　　的平行四边形，叫做矩形． ２．性质：矩形的对边　　　　且　　　　；四个角都是　　　　；对角线　　　　 且　　　　． ３．判定：（１）有一个角是　　　　的平行四边形是矩形；（２）有　　　　是直角的四边形 是矩形；（３）对角线　　　　的平行四边形是矩形． 　菱形 １．定义：有一组邻边　　　　的平行四边形是菱形． ２．性质：（１）菱形的对边　　　　且四条边都　　　　；（２）菱形的对角　　　　；（３）菱 形的对角线互相　　　　且每条对角线　　　　一组对角；（４）菱形既是　　　　图形，又 是　　　　图形． ３．判定：（１）用定义判定；（２）四条边都　　　　的四边形是菱形；（３）对角线　　　　的 平行四边形是菱形． 　正方形 １．性质：正方形具有矩形和菱形的所有性质：（１）对边　　　　，四条边都　　　；（２）四 个角都是　　　；（３）对角线　　　　且互相　　　　，每一条对角线平分一组对角；（４）既 是　　　图形，又是　　　　图形． ２．判定：（１）有一组邻边相等的　　　　是正方形；（２）有一个角是直角的　　　　是正 方形． 　矩形 １．（３分）矩形具有而平行四边形不具有的性质是 （　　） Ａ．两组对边分别平行　　Ｂ．两组对角分别相等　　Ｃ．对角线相等　　Ｄ．对角线互相垂直 ２．（３分）如图，在矩形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ、ＢＤ交于点Ｏ，以下说法错误的是 （　　） Ａ．∠ＡＢＣ＝９０° Ｂ．ＡＣ＝ＢＤ Ｃ．ＯＡ＝ＯＢ Ｄ．ＯＡ＝ＡＤ ３．（３分）数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作小组的 ４位同学拟定的方案，其中正确的是 （　　） Ａ．测量对角线是否互相平分 Ｂ．测量两组对边是否分别相等 Ｃ．测量一组对角是否都为直角 Ｄ．测量三个角是否为直角 ４．（３分）如图，四边形ＡＢＣＤ的对角线为ＡＣ、ＢＤ，且ＡＣ＝ＢＤ，则下列条件能判定四边形ＡＢＣＤ 是矩形的是 （　　） Ａ．ＡＢ＝ＢＣ Ｂ．ＡＣ⊥ＢＤ Ｃ．ＡＢ∥ＣＤ Ｄ．ＡＣ、ＢＤ互相平分 ５．（３分）如图，将矩形纸片ＡＢＣＤ折叠，使边ＡＢ、ＣＢ均落在对角线ＢＤ上，得到折痕ＢＥ、ＢＦ， 则∠ＥＢＦ的大小为 ． 第２题图 　　　　　　 第４题图 　　　　　　 第５题图 ６．（８分）如图，在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｅ是ＢＣ边上的一点，ＡＥ＝ＡＤ，ＤＦ⊥ＡＥ，垂足为 Ｆ，求证： ＤＦ＝ＤＣ． ７．（８分）如图，在ＡＢＣＤ中，过点 Ｄ作 ＤＥ⊥ＡＢ于点 Ｅ，点 Ｆ在边 ＣＤ上，ＤＦ＝ＢＥ，连结 ＡＦ、ＢＦ． （１）求证：四边形ＢＦＤＥ是矩形； （２）若ＣＦ＝３，ＢＦ＝４，ＤＦ＝５，求证：ＡＦ平分∠ＤＡＢ． ! " # $ % ·数学八年级下·ＨＳ· —４３— —４４— 　菱形 ８．（３分）如图，在菱形ＡＢＣＤ中，ＡＣ＝８，ＢＤ＝６，则△ＡＢＤ的周长等于 （　　） Ａ．１８ Ｂ．１６ Ｃ．１５ Ｄ．１４ ９．（３分）一个菱形的两条对角线长分别为６ｃｍ和１０ｃｍ，则这个菱形的面积是 （　　） Ａ．６０ｃｍ２ Ｂ．３０ｃｍ２ Ｃ．３２ｃｍ２ Ｄ．１５ｃｍ２ １０．（３分）如图，矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ、ＢＤ相交于点Ｏ，ＣＥ∥ＢＤ，ＤＥ∥ＡＣ，若ＡＣ＝４，则四 边形ＣＯＤＥ的周长为 （　　） Ａ．４ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．１０ １１．（３分）如图，点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别为矩形 ＡＢＣＤ四边的中点，已知 ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，则四边形 ＥＦＧＨ的周长为 （　　） Ａ．６ Ｂ．７ Ｃ．８ Ｄ．１０ １２．（３分）如图，添加下列条件仍然不能使ＡＢＣＤ成为菱形的是 （　　） Ａ．ＡＢ＝ＢＣ Ｂ．ＡＣ⊥ＢＤ Ｃ．∠ＡＢＣ＝９０° Ｄ．∠１＝∠２ 第８题图 　　　 第１０题图 　　　 第１１题图 　　　 第１２题图 １３．（８分）如图，ＡＥ∥ＢＦ，ＡＣ平分∠ＢＡＥ，且交ＢＦ于点Ｃ，ＢＤ平分∠ＡＢＦ，且交ＡＥ于点Ｄ，ＡＣ 与ＢＤ相交于点Ｏ，连结ＣＤ． （１）求∠ＡＯＤ的度数； （２）求证：四边形ＡＢＣＤ是菱形． 　正方形 １４．（３分）如图，Ｅ是正方形ＡＢＣＤ的边ＡＢ的延长线上一点，且ＢＤ＝ＢＥ，则∠ＢＥＤ的大小为 （　　） Ａ．１５° Ｂ．２２．５° Ｃ．３０° Ｄ．４５° １５．（３分）如图，在菱形ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝６０°，ＡＢ＝４，则以ＡＣ为边的正方形ＡＣＥＦ的周长为 （　　） 槡Ａ．４ Ｂ．８ Ｃ．１６ Ｄ．１６３ 第１４题图 　　　 第１５题图 　　　　 第１６题图 　　　　 第１８题图 １６．（３分）如图，两个正方形的面积分别为６４和４９，则ＡＣ等于 （　　） Ａ．１５ Ｂ．１７ Ｃ．２３ Ｄ．１１３ １７．（３分）四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ、ＢＤ交于点Ｏ，能判定它是正方形的是 （　　） Ａ．ＡＯ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ Ｂ．ＡＯ＝ＢＯ＝ＣＯ＝ＤＯ，ＡＣ⊥ＢＤ Ｃ．ＡＯ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ，ＡＣ⊥ＢＤ Ｄ．ＡＯ＝ＯＣ＝ＯＢ＝ＯＤ １８．（４分）如图，已知正方形ＡＢＣＤ的边长为１，连结ＡＣ，ＢＤ，ＣＥ平分∠ＡＣＤ交ＢＤ于点Ｅ，则 ＤＥ＝ ． １９．（８分）如图，正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ、Ｆ分别在边ＡＢ、ＢＣ上，ＡＦ＝ＤＥ，ＡＦ和ＤＥ相交于点Ｇ． （１）观察图形，写出图中所有与∠ＡＥＤ相等的角； （２）选择图中与∠ＡＥＤ相等的任意一个角，并加以证明． ２０．（１０分）如图，已知在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ平分∠ＡＣＢ，ＤＥ⊥ＢＣ，ＤＦ⊥ＡＣ，垂足分 别为Ｅ、Ｆ，求证：四边形ＣＦＤＥ是正方形． ２１．（１２分）如图，菱形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ、ＢＤ相交于点 Ｏ，分别延长 ＯＡ、ＯＣ到点 Ｅ、Ｆ，使 ＡＥ＝ＣＦ，依次连结Ｂ、Ｆ、Ｄ、Ｅ各点． （１）求证：△ＢＡＥ≌△ＢＣＦ； （２）若∠ＡＢＣ＝５０°，当∠ＥＢＡ＝ °时，四边形ＢＦＤＥ是正方形． ! " # $ % —７３— —７４— ·数学八年级下·ＨＳ· １ ２ＡＢ·ＥＦ＝ １ ２Ｓ． （４）设△ＰＡＤ的面积为ｘ，△ＰＤＣ的面积为 ｙ，则２＋ｙ＝８＋ ｘ，∴ｙ－ｘ＝６，∴Ｓ△ＰＢＤ＝ １ ２ＳＡＢＣＤ－（Ｓ△ＡＢＰ＋Ｓ△ＡＰＤ）＝２＋ｙ －（２＋ｘ）＝ｙ－ｘ＝６． 第二学期期中调研卷 １．Ｂ　２．Ａ　３．Ｂ　４．Ａ　５．Ｃ　６．Ｂ　７．Ｄ　８．Ｃ　９．Ｄ １０．Ｃ　解析：∵点Ａ的坐标为（２，３），且 ＢＣ＝６，∴Ｃ（８，０）．把 点Ａ（２，３），点 Ｃ（８，０）分别代入 ｙ＝ｘ＋ｂ中，得到 ｂ＝１或 －８，由点Ｐ落在长方形 ＡＢＣＤ的内部，∴ －８≤ｂ≤１．故 选Ｃ． １１．１４　１２．６５ １３．２　解析：设Ｐ（ａ，ｂ），Ｑ（ｃ，ｄ），则ＰＡ＝ＯＭ＝ａ，ＯＡ＝ＰＭ＝ｂ， ＯＮ＝ＢＱ＝ｃ，ＯＢ＝ＱＮ＝ｄ，则 ＡＢ＝ｂ－ｄ，ＭＮ＝ｃ－ａ， ∴Ｓ△ＰＡＢ＝ １ ２·ＰＡ·ＡＢ＝ １ ２ａ·（ｂ－ｄ）＝ １ ２（ａｂ－ａｄ）， Ｓ△ＱＭＮ＝ １ ２·ＭＮ·ＱＮ＝ １ ２（ｃ－ａ）·ｄ＝ １ ２（ｃｄ－ａｄ），∵Ｐ， Ｑ两点在ｙ＝８ｘ上，∴ａｂ＝ｃｄ＝８，∴Ｓ△ＱＭＮ＝Ｓ△ＰＡＢ＝２． １４．－７ １５．解：方程两边都乘（ｘ＋１）（ｘ－１）去分母得， ｘ（ｘ＋１）－（ｘ２－１）＝３． 即ｘ２＋ｘ－ｘ２＋１＝３． 解得ｘ＝２． 经检验，ｘ＝２是原方程的根． １６．解：（１）∵函数图象经过第二、四象限， ∴ｋ－１＜０， ∴ｋ＜１． （２）当ｘ＝１，ｙ＝－４时，则ｋ－１＝－４，解得ｋ＝－３． 故函数关系式为ｙ＝－４ｘ． １７．解：原 式 ＝ｍ－ｎｍ ÷ ｍ２＋ｎ２－２ｍｎ ｍ ＝ ｍ－ｎ ｍ × ｍ （ｍ－ｎ）２ ＝ １ｍ－ｎ． １８．解：（１）把Ａ（２，３）代入ｙ＝ｋｘ，得：ｋ＝２×３＝６， 所以函数的关系式为ｙ＝６ｘ． 把Ｂ（ｍ，－２）代入ｙ＝６ｘ，得：－２＝ ６ ｍ， 解得ｍ＝－３． （２）Ｃ（６，１）在这个反比例函数的图象上． 理由如下：把ｘ＝６代入ｙ＝６ｘ，得：ｙ＝１， 所以点Ｃ（６，１）在这个反比例函数的图象上． １９．证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ． ∵Ｅ、Ｆ分别是ＯＣ、ＯＡ的中点， ∴ＯＥ＝１２ＯＣ，ＯＦ＝ １ ２ＯＡ， ∴ＯＥ＝ＯＦ． 在△ＯＢＥ和△ＯＤＦ中， ∵ＯＢ＝ＯＤ，∠ＢＯＥ＝∠ＤＯＦ，ＯＥ＝ＯＦ， ∴△ＯＢＥ≌△ＯＤＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）， ∴ＢＥ＝ＤＦ． ２０．解：设小明通过 ＡＢ时的速度是 ｘ米／秒，根据题意列方 程得： ６ ｘ＋ ６ １．２ｘ＝１１．解得：ｘ＝１． 经检验，ｘ＝１是所列分式方程的解，且符合题意． 答：小明通过ＡＢ时的速度是１米／秒． ２１．解：（１）①ｋｘ＋ｂ＝０， ② ｙ＝ｋｘ＋ｂ， ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１{ ． ③ｋｘ＋ｂ＞０， ④ｋｘ＋ｂ＜０； （２）ｘ≥１． ２２．解：（１）根据题意，得 ①当０≤ｘ≤５时，ｙ＝２０ｘ； ②当ｘ＞５，ｙ＝２０×０．８（ｘ－５）＋２０×５＝１６ｘ＋２０； （２）把ｘ＝４０代入ｙ＝１６ｘ＋２０， ∴ｙ＝１６×４０＋２０＝６６０， ∴需付款６６０元． ２３．解：（１）由题意得： ｘ＋２ ｘ－２· ｘ ｘ＋２＋ ２３ ２－ｘ＝ ｘ ｘ－２－ ２３ ｘ－２＝ ｘ－２３ ｘ－２． （２）不能． 假设能，则 ｘ＋２ ｘ－２＝－１． ｘ＋２＝－（ｘ－２）． ｘ＋２＝－ｘ＋２． ｘ＝０． 当ｘ＝０时，分式 ｘｘ＋２＝０，除数为零无意义，则原代数式的 值不能等于－１． ２４．解：（１）①ｙ＝－３ｘ－２； ②ｙ＝８ｘ＋５； （２）∵△ＡＢＣ是等腰直角三角形，ＡＯ⊥ＢＣ， ∴ＡＯ＝ＢＯ＝ＣＯ． ∵Ａ（０，４）， ∴Ｂ（－４，０），Ｃ（４，０）． 将Ｂ，Ａ分别代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ得： －４ｋ＋ｂ＝０， ｂ＝４{ ， 解得 ｋ＝１， ｂ＝４{ ． 故其函数关系式为：ｙ＝ｘ＋４， 故其“镜子”函数为：ｙ＝－ｘ＋４． ２５．（１）证明：∵１２３＜ ６ １，∴当 ｔ＝ １２ ３＝４时，两点停止运动，在 运动过程中，ＡＰ＝３ｔ，ＣＱ＝ｔ（０≤ｔ≤４），∴ＢＰ＝１２－３ｔ，ＤＱ＝ ６－ｔ．当ｔ＝３２时，ＤＱ＝６－ ３ ２＝ ９ ２，ＡＰ＝３× ３ ２＝ ９ ２，∴ＡＰ ＝ＤＱ，又 ＡＢ∥ＣＤ，∴ＡＰ∥ＤＱ，∴四边形 ＡＰＱＤ是平行四 边形． （２）解：ＰＱ能平分线段ＢＤ．当ｔ＝３时，ＰＱ平分线段 ＢＤ．理 由如下：连结ＢＤ交ＰＱ于点Ｅ，如图所示． 若ＰＱ平分线段 ＢＤ，则 ＤＥ＝ＢＥ，∵ＣＤ∥ＡＢ，∴∠１＝∠２， ∠３＝∠４， 在△ＤＥＱ和△ＢＥＰ中， ∠３＝∠４， ∠１＝∠２，∴△ＤＥＱ≌△ＢＥＰ（Ａ．Ａ．Ｓ．）， ＤＥ＝ＢＥ { ， ∴ＤＱ＝ＢＰ，∴６－ｔ＝１２－３ｔ，解得ｔ＝３，符合题意， ∴当ｔ＝３时，ＰＱ平分线段ＢＤ． 第十九章整理与复习 知识点整理 一、１．直角　２．平行　相等　直角　相等　互相平分 ３．（１）直角　（２）三个角　（３）相等 二、１．相等　２．（１）平行　相等　（２）相等　（３）垂直平分 平分　（４）轴对称　中心对称　３．（２）相等　（３）互相垂直 三、１．（１）平行　相等　（２）直角　（３）相等　垂直平分 （４）轴对称　中心对称　２．（１）矩形　（２）菱形 点对点练习 １．Ｃ　２．Ｄ　３．Ｄ　４．Ｄ ５．４５°　解析：由折叠的性质可知，∠ＥＢＡ＝∠ＥＢＤ，∠ＦＢＣ＝ ∠ＦＢＤ．根 据 ∠ＥＢＦ＝∠ＥＢＤ＋∠ＦＢＤ，可 得 ∠ＥＢＦ＝ １ ２∠ＡＢＣ＝ １ ２×９０°＝４５°． ６．证明：∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴ＡＢ＝ＣＤ，∠Ｂ＝９０°， ∵ＤＦ⊥ＡＥ，∴∠ＡＦＤ＝９０°，由ＢＣ∥ＡＤ得∠ＡＥＢ＝∠ＤＡＦ， 在△ＤＦＡ和△ＡＢＥ中， ∠ＤＦＡ＝∠Ｂ， ∠ＤＡＦ＝∠ＡＥＢ， ＤＡ＝ＡＥ { ， ∴△ＤＦＡ≌△ＡＢＥ，∴ＤＦ＝ＡＢ，∴ＤＦ＝ＤＣ． ７．证明：（１）∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＢ∥ＣＤ， ∴ＢＥ∥ＤＦ，∵ＢＥ＝ＤＦ，∴四边形ＢＦＤＥ是平行四边形． ∵ＤＥ⊥ＡＢ，∴∠ＤＥＢ＝９０°，∴四边形ＢＦＤＥ是矩形． （２）∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＢ∥ＤＣ，∴∠ＤＦＡ＝∠ＦＡＢ． 在Ｒｔ△ＢＣＦ中，∵ＣＦ＝３，ＢＦ＝４，∴ＢＣ＝５， ∴ＡＤ＝ＢＣ＝ＤＦ＝５， ∴∠ＤＡＦ＝∠ＤＦＡ，∴∠ＤＡＦ＝∠ＦＡＢ，即ＡＦ平分∠ＤＡＢ． ８．Ｂ　９．Ｂ １０．Ｃ　解析：∵ＣＥ∥ＢＤ，ＤＥ∥ＡＣ，∴四边形ＯＣＥＤ是平行四边 形，又∵四边形 ＡＢＣＤ是矩形，∴ＯＣ＝ＯＤ＝２，则四边形 ＯＣＥＤ是菱形，故周长为４×２＝８． １１．Ｄ　解析：易证△ＡＥＨ≌△ＢＥＦ≌△ＣＧＦ≌△ＤＧＨ，则 ＥＨ＝ ＥＦ＝ＧＦ＝ＧＨ，∴四边形ＥＦＧＨ是菱形，在△ＡＥＨ中，由勾股 定理得，ＥＨ＝ ３( )２ ２ ＋２槡 ２＝５２，所以四边形ＥＦＧＨ的周长 为４×５２＝１０． １２．Ｃ １３．解：（１）∵ＡＣ、ＢＤ分别是∠ＢＡＤ、∠ＡＢＣ的平分线， ∴∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＣ，∠ＡＢＤ＝∠ＤＢＣ， ∵ＡＥ∥ＢＦ，∴∠ＤＡＢ＋∠ＣＢＡ＝１８０°， ∴∠ＢＡＣ＋∠ＡＢＤ＝１２（∠ＤＡＢ＋∠ＡＢＣ）＝ １ ２×１８０°＝ ９０°，∴∠ＡＯＤ＝∠ＡＯＢ＝９０°． （２）证明：由（１）易证△ＡＯＤ≌△ＡＯＢ，△ＡＯＢ≌△ＣＯＢ． ∴ＡＤ＝ＡＢ，ＡＢ＝ＣＢ，∴ＡＤ＝ＢＣ，∵ＡＤ∥ＢＣ， ∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． 又ＡＣ⊥ＢＤ，∴四边形ＡＢＣＤ是菱形． １４．Ｂ　１５．                                                                                                                                                                                                          Ｃ ! " # $ % ·数学八年级下·ＨＳ· —７５— —７６— １６．Ｂ　解析：∵两正方形的面积分别为６４和４９，∴它们的边长 分别为槡６４＝８，槡４９＝７，∴ＡＢ＝８，ＢＣ＝１５，在Ｒｔ△ＡＢＣ中， 由勾股定理，得ＡＣ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２＝ ８２＋１５槡 ２＝１７． １７．Ｂ １８．槡２－１　解析：∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形，∴∠ＡＣＤ＝４５°， ∠ＣＢＤ＝４５°，∵ＣＥ平分∠ＡＣＤ，∴∠ＡＣＥ＝２２．５°，∴∠ＢＥＣ ＝６７．５°，∠ＢＣＥ＝６７．５°，即∠ＢＥＣ＝∠ＢＣＥ，∴ＢＣ＝ＢＥ，易 知ＢＤ 槡＝２，则ＤＥ 槡＝２－１． １９．解：（１）与∠ＡＥＤ相等的角有∠ＢＦＡ，∠ＥＤＣ． （２）选∠ＡＥＤ＝∠ＢＦＡ． 证明：∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，∴∠ＤＡＥ＝∠Ｂ＝９０°， ＤＡ＝ＡＢ，在Ｒｔ△ＤＡＥ与Ｒｔ△ＡＢＦ中，ＤＥ＝ＡＦ，ＤＡ＝ＡＢ， ∴Ｒｔ△ＤＡＥ≌Ｒｔ△ＡＢＦ，∴∠ＡＥＤ＝∠ＢＦＡ． ２０．证明：∵∠ＡＣＢ＝９０°，ＤＥ⊥ＢＣ，ＤＦ⊥ＡＣ，∴四边形 ＣＦＤＥ是 矩形，又∵ＣＤ平分∠ＡＣＢ，ＤＥ⊥ＢＣ，ＤＦ⊥ＡＣ，∴ＤＥ＝ＤＦ， ∴四边形 ＣＦＤＥ是正方形（有一组邻边相等的矩形是正 方形）． ２１．解：（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，∴ＢＡ＝ＢＣ， ∴∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ．∴∠ＢＡＥ＝∠ＢＣＦ． 在△ＢＡＥ和△ＢＣＦ中， ＢＡ＝ＢＣ， ∠ＢＡＥ＝∠ＢＣＦ， ＡＥ＝ＣＦ { ， ∴△ＢＡＥ≌△ＢＣＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． （２）２０ 第十九章综合自测卷 １．Ｃ　２．Ｂ　３．Ｄ　４．Ｂ ５．Ａ　解析：∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形，∴∠ＢＡＣ＝４５°，∵四边 形ＡＥＦＣ是菱形，∴∠ＦＡＥ＝∠ＦＡＣ＝２２．５°． ６．Ｄ　解析：由题知△ＡＥＦ为等边三角形． ∴ＥＦ＝ＡＥ，ＥＢ＝１２ＥＦ＝ １ ２ＡＥ，设ＥＦ＝ｘ，有ｘ＋ １ ２ｘ＝３， ∴ｘ＝２，即ＥＦ＝２，∴ＡＣ＝２ ２２－１槡 ２＝２槡３，故选Ｄ． ７．Ａ　８．Ｃ　９．Ｃ　１０．Ｃ １１．对角线相等　１２．５４ｃｍ２　１３．菱形　１４．对角线相等 １５．１５°　１６．１２０ １７．６　解析：连结ＢＤ、ＤＥ，∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，∴点Ｂ与 点Ｄ关于直线ＡＣ对称，∴ＤＥ的长即为ＢＱ＋ＱＥ的最小值， ∵ＤＥ＝ＢＱ＋ＱＥ＝ ＡＤ２＋ＡＥ槡 ２＝ ４２＋３槡 ２＝５，∴三角形 ＢＥＱ周长的最小值＝ＤＥ＋ＢＥ＝５＋１＝６，故答案为６． １８．（槡３） ｎ－１　解析：连结 ＤＢ交 ＡＣ于点 Ｍ，∵四边形 ＡＢＣＤ是 菱形，∴ＡＤ＝ＡＢ，ＡＣ⊥ＤＢ，∵∠ＤＡＢ＝６０°，∴△ＡＤＢ是等边 三角形，∴ＤＢ＝ＡＤ＝１，∴ＢＭ＝１２，∴ＡＭ＝ １－ １ 槡 ４＝ 槡３ ２， ∴ＡＣ＝２ＡＭ＝槡３．同理可得，ＡＣ１＝槡３ＡＣ＝（槡３） ２，ＡＣ２＝ 槡３ＡＣ１＝３槡３＝（槡３） ３，按此规律所作的第ｎ个菱形的边长为 （槡３） ｎ－１，故答案为（槡３） ｎ－１． １９．解：∵菱形 ＡＢＣＤ的周长为１６ｃｍ，∠ＡＢＣ＝６０°，∴ＡＢ＝ＢＣ ＝４ｃｍ，△ＡＢＣ是等边三角形，∴ＡＣ＝４ｃｍ．∵ＡＣ、ＢＤ互相垂 直平分，∴ＯＡ＝２，∴ＯＢ＝ ４２－２槡 ２＝２槡３ｃｍ，∴ＢＤ＝４槡３ｃｍ． ２０．解：∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤ＝９０°， ∵△ＡＢＥ为等边三角形，∴ＡＥ＝ＡＢ＝ＢＥ，∠ＡＢＥ＝６０°， ∴∠ＥＢＣ＝９０°－６０°＝３０°，ＢＣ＝ＢＥ， ∴∠ＥＣＢ＝∠ＢＥＣ＝１２×（１８０°－３０°）＝７５°， ∴∠ＤＣＥ＝９０°－７５°＝１５°． ２１．解：（１）证明：∵ＡＣ是菱形ＡＢＣＤ的对角线， ∴ＡＣ平分∠ＢＣＤ．∵∠ＡＣＤ＝３０°，∴∠ＢＣＤ＝６０°． ∵∠ＢＡＤ与∠ＢＣＤ是菱形的一组对角， ∴∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ＝６０°．∵ＡＢ、ＡＤ是菱形的两条边， ∴ＡＢ＝ＡＤ．∴△ＡＢＤ是正三角形． （２）∵Ｏ为菱形对角线的交点， ∴ＡＣ＝２ＯＣ，ＯＤ＝１２ＢＤ＝３，∠ＣＯＤ＝９０°． 在Ｒｔ△ＣＯＤ中，∵ＯＤ２＋ＯＣ２＝ＣＤ２， ∴ＯＣ＝３槡３．∴ＡＣ＝２ＯＣ＝６槡３． ２２．证明：∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴∠ＢＡＥ＝∠ＡＤＦ＝９０°，ＡＢ＝ＤＡ， 在Ｒｔ△ＢＡＥ和Ｒｔ△ＡＤＦ中， ＢＥ＝ＡＦ， ＡＢ＝ＤＡ{ ， ∴Ｒｔ△ＢＡＥ≌Ｒｔ△ＡＤＦ（Ｈ．Ｌ．），∴ＡＥ＝ＤＦ． ２３．解：（１）证明：∵四边形 ＡＢＣＤ是矩形，∴ＯＡ＝ＯＣ＝１２ＡＣ， ＯＤ＝ＯＢ＝１２ＢＤ，ＡＣ＝ＢＤ，∴ＯＡ＝ＯＤ，∵ＤＥ∥ＣＡ，ＡＥ∥ＢＤ， ∴四边形ＡＯＤＥ是平行四边形，∵ＯＡ＝ＯＤ，∴四边形ＡＯＤＥ 是菱形． （２）矩形　解析：∵ＤＥ∥ＣＡ，ＡＥ∥ＢＤ，∴四边形 ＡＯＤＥ是平 行四边形，若四边形ＡＢＣＤ是菱形，则 ＡＣ⊥ＢＤ，∴∠ＡＯＤ＝ ９０°，∴平行四边形ＡＯＤＥ是矩形． ２４．解：（１）证明：∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠Ｂ＝∠ＡＣＢ． ∵∠ＣＡＭ＝∠Ｂ＋∠ＡＣＢ，ＡＮ是∠ＣＡＭ的平分线， ∴∠ＭＡＮ＝∠Ｂ，∴ＡＮ∥ＢＣ．∵ＡＤ⊥ＢＣ，ＣＥ⊥ＡＮ， ∴∠ＡＤＣ＝∠ＤＡＥ＝∠ＡＥＣ＝９０°，∴四边形ＡＤＣＥ是矩形． （２）当△ＡＢＣ满足∠ＢＡＣ＝９０°时，四边形ＡＤＣＥ是一个正方形． ∵∠ＢＡＣ＝９０°，则∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ＝４５°， ∴∠ＡＣＤ＝４５°，∴ＡＤ＝ＣＤ，∴矩形ＡＤＣＥ是一个正方形． ２５．解：（１）证明：∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形，∴ＢＣ＝ＣＤ，∠ＢＣＤ ＝９０°．∵∠ＢＣＤ＋∠ＤＣＥ＝１８０°，∴∠ＢＣＤ＝∠ＤＣＥ＝９０°． 又∵ＣＧ＝ＣＥ，∴△ＢＣＧ≌△ＤＣＥ． （２）四边形Ｅ′ＢＧＤ是平行四边形． 理由：∵△ＤＣＥ绕点Ｄ顺时针旋转９０°得到△ＤＡＥ′， ∴ＣＥ＝ＡＥ′．∵ＣＥ＝ＣＧ，∴ＣＧ＝ＡＥ′． ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＢＥ′∥ＤＧ，ＡＢ＝ＣＤ． ∴ＡＢ－ＡＥ′＝ＣＤ－ＣＧ，即ＢＥ′＝ＤＧ． ∴四边形Ｅ′ＢＧＤ是平行四边形． ２６．解：（１） （２）∵△Ｃ′ＢＤ与△ＣＢＤ关于ＢＤ对称，∴∠ＥＢＤ＝∠ＣＢＤ． 又∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＥＤＢ＝∠ＣＢＤ．∴∠ＥＢＤ＝∠ＥＤＢ， ∴ＢＥ＝ＤＥ．在Ｒｔ△ＡＢＥ中，ＡＢ２＋ＡＥ２＝ＢＥ２，而ＡＢ＝５， ＢＣ＝１２，∴５２＋（１２－ＢＥ）２＝ＢＥ２，解得ＢＥ＝１６９２４． ∴所求线段ＢＥ的长是１６９２４． ２７．解：（１）设 Ｐ、Ｑ两点出发 ｔ秒时，四边形 ＰＢＣＱ的面积为 ３６ｃｍ２．由矩形ＡＢＣＤ得∠Ｂ＝∠Ｃ＝９０°，ＡＢ∥ＣＤ，所以四边 形ＰＢＣＱ为直角梯形，故 Ｓ梯形ＰＢＣＱ＝ １ ２"ＣＱ＋ＰＢ#·ＢＣ．又 Ｓ梯形ＰＢＣＱ＝３６，所以 １ ２"２ｔ＋１６－３ｔ#·６＝３６，解得 ｔ＝４． 故Ｐ，Ｑ两点出发后４秒时，四边形ＰＢＣＱ的面积为３６ｃｍ２． （２）不存在．理由：因为要使四边形 ＰＢＣＱ为正方形，则 ＰＢ ＝ＢＣ＝ＣＱ＝６，所以 Ｐ点运动的时间为１６－６３ ＝ １０ ３秒，Ｑ点 运动的时间是 ３秒，Ｐ，Ｑ的时间不一致，所以不存在该 时刻． ２８．解：（１）ＢＥ＋ＤＦ＝ＢＣ （２）ＢＥ＝ＢＣ＋ＤＦ． 理由如下： 如图，连结ＡＣ，∵四边形ＡＢＣＤ为菱形，∠Ｂ＝６０°， ∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ，∠Ｂ＝∠ＡＤＣ＝６０°， ∴△ＡＢＣ和△ＡＣＤ为等边三角形， ∴∠ＢＡＣ＝∠ＡＤＣ＝６０°， ∴∠ＥＡＣ＝∠ＦＤＣ＝１２０°， 又∵∠ＡＣＤ＝∠ＥＣＦ＝６０°， ∴∠ＡＣＥ＝∠ＤＣＦ， 在△ＥＡＣ和△ＦＤＣ中， ∠ＥＡＣ＝∠ＦＤＣ， ＡＣ＝ＤＣ， ∠ＡＣＥ＝∠ＤＣＦ { ， ∴△ＥＡＣ≌△ＦＤＣ，∴ＡＥ＝ＤＦ， 又∵ＢＥ＝ＡＢ＋ＡＥ，∴ＢＥ＝ＢＣ＋ＤＦ． （３）４ 第二学期第二次月考自测卷 １．Ａ　２．Ｃ　３．Ｃ　４．Ｃ　５．Ｄ　６．Ｃ ７．Ｄ　解析：由题知 ＤＭ＝１，ＣＤ＝２，∴ＭＥ＝ＭＣ＝ １２＋２槡 ２＝ 槡５，∴ＤＧ＝ＤＥ＝ＭＥ－ＭＤ＝槡５－１．故选Ｄ． ８．Ｄ　解析：∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＤ＝ＢＣ，ＡＤ∥ ＢＣ，又ＡＤ＝ＤＥ，∴ＢＣ＝ＤＥ，∴四边形 ＢＣＥＤ是平行四边形， 根据矩形的判定，加上 Ａ、Ｂ、Ｃ中的条件都能证明四边形 ＢＣＥＤ是矩形． ９．Ｂ １０．Ｃ　解析：①正确，∵ＡＢ＝ＡＤ＝ＡＦ，ＡＧ＝ＡＧ，∠Ｂ＝∠ＡＦＧ＝ ９０°，∴Ｒｔ△ＡＢＧ≌Ｒｔ△ＡＦＧ；②正确，∵ＥＦ＝ＤＥ＝１３ＣＤ＝２， 设ＢＧ＝ＦＧ＝ｘ，则ＣＧ＝６－ｘ，在 Ｒｔ△ＥＣＧ中，有（６－ｘ）２＋ ４２＝（ｘ＋２）２．解得 ｘ＝３，∴ＢＧ＝ＣＧ＝３；③正确，∵ＣＧ＝ ＢＧ，ＢＧ＝ＧＦ，∴ＣＧ＝ＧＦ，∴△ＦＧＣ是等腰三角形，∠ＧＦＣ＝ ∠ＧＣＦ，又∵△ＡＢＧ≌△ＡＦＧ，∴∠ＡＧＢ＝∠ＡＧＦ，∠ＡＧＦ＋ ∠ＡＧＢ＝２∠ＡＧＢ＝１８０°－∠ＦＧＣ＝∠ＧＦＣ＋∠ＧＣＦ＝ ２∠ＧＦＣ＝２∠ＧＣＦ，∴∠ＡＧＢ＝∠ＡＧＦ＝∠ＧＦＣ＝∠ＧＣＦ， ∴ＡＧ∥ＣＦ；④错误，故选Ｃ． １１．ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ（答案不唯一）　１２．３　１３．７　１４．１０ １５．①②　解析：∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，∴ＡＢ＝ＡＤ， ∵△ＡＥＦ是等边三角形，∴ＡＥ＝ＡＦ，∴Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ＡＤＦ， ∴ＢＥ＝ＤＦ，∵ＢＣ＝ＤＣ，∴ＢＣ－ＢＥ＝ＣＤ－ＤＦ，∴ＣＥ＝ＣＦ， ∴①说法正确；∵ＣＥ＝ＣＦ，∴△ＥＣＦ是等腰直角三角形， ∴∠ＣＥＦ＝４５°，∵∠ＡＥＦ＝６０°，∴∠ＡＥＢ＝７５°，∴②说法正 确；连结ＡＣ，交ＥＦ于点Ｇ，∴ＡＣ⊥ＥＦ，且ＡＣ平分ＥＦ， ∵∠ＣＡＦ≠∠ＤＡＦ，∴ＤＦ≠ＦＧ，∴ＢＥ＋ＤＦ≠ＥＦ，∴③                                                                                                                                                                                                          说法错