第05讲平面向量在几何和物理中的应用（2个知识点+7种题型+强化训练）-2023-2024学年高一下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修二）

第05讲平面向量在几何和物理中的应用（2个知识点+7种题型+强化训练） 知识导图 知识清单 知识点1 向量在几何中的应用 1、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 2、利用向量证明平面几何的两种经典方法 （1）线性运算法 第一步：选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）； 第二步：利用基底表示相关向量； 第三步：利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； 第四步：把计算结果“翻译”为几何问题。 （2）坐标运算法 第一步：建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）； 第二步：把相关向量坐标化； 第三步：用向量的坐标运算找到相应关系； 第四步：利用向量关系回答几何问题。 知识点2 向量在物理中的应用 1、向量在物理应用中的主要解题思路 （1）转化问题：将物理问题转化为数学问题； （2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型； （3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； （4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。 2、力学问题的向量处理方法 （1）解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； （2）向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点，力是既有大小，又有方向的量，用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上。 3、速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成与分解，实质是向量的加减运算，运动的叠加也用到了向量的合成 （1）向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，最后获得物理结论； （2）用向量解决速度、加速度和位移问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解。 3、功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力与位移的数量积，即（为与的夹角），功是一个标量，它可正，也可负。动量实际上是数乘向量。在解决问题时要注意数形结合。 知识复习 题型一、用向量证明线段垂直 一、单选题 1．在中，，，为的重心，若，则外接圆的半径为(    ) A． B．1 C．2 D． 2．（22·23高一下·陕西西安·期中）已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 二、多选题 3．已知点，，，，则以下四个结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，其中，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，的面积最大 D．当时， 5．（22·23高一下·河南郑州·期中）设点D是所在平面内一点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则点D是边BC的中点 B．若，则直线AD经过的垂心 C．若，则点D在边BC的延长线上 D．若，且，则是面积的一半 三、填空题 6．（2023上·山东泰安·高二校考开学考试）在四边形中，，则四边形的形状是 . 四、解答题 7．（2023·全国·高一随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 8．（22·23高一下·山东·期中）如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）. (1)用向量的方法证明； (2)若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值. 题型二、用向量解决夹角问题 一、单选题 1．（22·23高一下·安徽·阶段练习）已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．下列说法中，正确的是(    ) A．向量能作为平面内所有向量的一个基底 B．若，则与的夹角是钝角 C． D．若，则在上的投影向量为 三、填空题 3．（22·23高一下·山东聊城·期末）如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．    4．（22·23高一下·福建厦门·期中）如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则 .    【答案】 【分析】先利用向量的线性运算表示，，然后数量积求解夹角余弦值即可. 【详解】设，，则， ，又，， 所以 . 故答案为： 四、解答题 5．（22·23高一下·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点    (1)若，求AE的长； (2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M