精品解析：湖南省长沙市德成学校2024届高三下学期入学考试数学试题

长沙市德成学校2023-2024学年第二学期 高三数学入学考试 时量：120分钟 分值：150分 命题：冉艺 审题：匡经详 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 某班的全体学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，，，.若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（ ） A. 40 B. 45 C. 50 D. 60 3. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 20 B. 23 C. 24 D. 28 4. 同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（ ） A. 32种 B. 128种 C. 64种 D. 256种 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量，满足，，并且当时，取得最小值，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知为球球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却后牛奶的温度是，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 牛奶的温度降至还需 D. 牛奶的温度降至还需 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符号题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 为奇函数 B. 是以为周期的函数 C. 的图象关于直线对称 D. 时，的最大值为 11. 已知函数满足：①对任意，；②若，则.则（ ） A. 的值为2 B. C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式中，的系数为______. 13. 已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据、、、、的平均数为______. 14. 已知双曲线左，右焦点分别为为右支上一点，的内切圆圆心为，直线交轴于点，则双曲线的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别是，已知. （1）求角的大小； （2）已知，的面积为6，求边的大小. 16. 某学校进行班级之间的中国历史知识竞赛活动，甲、乙两位同学代表各自班级以抢答的形式展开，共五道题，抢到并回答正确者得一分，答错则对方得一分，先得三分者获胜.每一次抢题且甲、乙两人抢到每道题的概率都是，甲乙正确回答每道题的概率分别为，，且两人各道题是否回答正确均相互独立. （1）比赛开始，求甲先得一分概率； （2）求甲获胜的概率. 17. 已知函数. （1）若曲线在处切线与轴平行，求； （2）若在处取得极大值，求的取值范围. 18. 如图1，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，将正方形ABCD沿EF折成如图2所示的二面角，且二面角的大小为，点M在线段AB上（包含端点）运动，连接AD． （1）若M为AB的中点，直线MF与平面ADE的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD//平面EMC； （2）是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为？若存在，确定出M点位置；若不存在，请说明理由． 19. 已知椭圆两焦点，且椭圆过. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点（与均不重合），记直线的斜率为，直线的斜率为，且，设，的面积分别为，求的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长沙市德成学校2023-2024学年第二学期 高三数学入学考试 时量：120分钟 分值：150分 命题：冉艺 审题：匡经详 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】化简不等式，可知 推不出；