7.3 离散型随机变量的数字特征（六大题型）-2023-2024学年高二数学新教材同步配套培优讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

7．3 离散型随机变量的数字特征 【题型归纳目录】 题型一：利用定义求离散型随机变量的均值 题型二：离散型随机变量均值的性质 题型三：离散型随机变量均值的应用 题型四：求离散型随机变量的方差 题型五：方差的性质的应用 题型六：均值与方差的综合应用 【知识点梳理】 1、离散型随机变量的均值或数学期望 正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量的分布列为 … … … … 则称为随机变量的均值或数学期望，数学期望简称为期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 2、两点分布的期望 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么； 3、离散型随机变量的均值的性质 设X的分布列为． 一般地，下面的结论成立：． 4、离散型随机变量的方差、标准差 正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值 设离散型随机变量X的分布列为 … … … … 考虑所有可能取值与的偏差的平方，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值的偏离程度，我们称 为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为． 5、几个常见的结论 （1）． （2）若服从两点分布，则． 【典型例题】 题型一：利用定义求离散型随机变量的均值 【典例1-1】（2024·全国·模拟预测）从1-20中随机抽取3个数，记随机变量为这3个数中相邻数组的个数．如当这三个数为11，12，14时，；当这三个数为7，8，9时，．则的值为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【典例1-2】（2024·高三·江西宜春·阶段练习）从1-20中随机抽取3个数，记随机变量为这3个数中相邻数组的个数.如当这三个数为11，12，14时，；当这三个数为7，8，9时，.则的值约为（    ） A．0.22 B．0.31 C．0.47 D．0.53 【变式1-1】（2024·高三·北京·阶段练习）暗箱中有编号为1，2的2个球，现从中随机摸1个球，若摸到2号球，则得2分，并停止摸球；若摸到1号球，则得1分，并将此球放回，重新摸球．记摸球停止时总得分为X，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-2】（2024·高二·湖南衡阳·期中）一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用表示取出球的最大编号，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式1-3】（2024·高二·全国·课时练习）已知随机变量的分布列为： 1 2 3 0.2 0.5 则的均值是（    ） A．2 B．2.1 C．2.3 D．随的变化而变化 【变式1-4】（2024·高二·全国·课时练习）某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜错得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X的均值（    ） A．0.9 B．0.8 C．1.2 D．1.1 【方法技巧与总结】 求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：（1）确定X的可能取值；（2）计算出P（X＝k）；（3）写出分布列；（4）利用E（X）的计算公式计算E（X）． 题型二：离散型随机变量均值的性质 【典例2-1】（2024·高二·山东德州·期末）已知离散型随机变量服从两点分布，且，则随机变量的期望为 ． 【典例2-2】（2024·高二·黑龙江双鸭山·阶段练习）设的分布列如图，又，则 . 1 2 3 4 P a 【变式2-1】（2024·高二·江苏·课时练习）已知随机变量X的概率分布为 X －2 －1 0 1 2 P m 若，且，则 ． 【变式2-2】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知离散型随机变量X的分布列如表：若离散型随机变量，则 ． 0 1 2 3 【变式2-3】（21·22高二·全国·课时练习）设离散型随机变量的期望为，则 ． 【变式2-4】（2024·高二·福建三明·期中）随机变量的分布如下表，则 . 0 2 4 0.4 a 0.3 【方法技巧与总结】 离散型随机变量性质有关问题的解题思路 若给出的随机变量与的关系为为常数，一般思路是先求出，再利用公式求．也可以利用的分布列得