第三章圆素养集训证明圆的切线的方法作业课件 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

第三章 圆 素养集训 证明圆的切线的方法 北师 九年级下 点击显示本课时答案 1 2 3 4 提示：点击 进入习题 5 6 7 8 习题目录 2 1．如图，⊙O的直径AB＝12，点P是AB延长线上一点，且PB＝4，点C是⊙O上一点，PC＝8.求证：PC是⊙O的切线． 证明：连接OC.∵⊙O的直径AB＝12， ∴OB＝OC＝6. ∵PB＝4，∴PO＝10. 在△POC中，PC2＋CO2＝82＋62＝100，PO2＝102＝100， ∴PC2＋OC2＝PO2.∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC. 又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线． 返回 目录 素养集训 2．【2023·常德】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是 的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E. (1)求证：CE是⊙O的切线； 证明：如图，连接OC. ∵C为 又∵OA＝OC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE∥OC. 又∵CE⊥AE，∴CE⊥OC.∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线． 返回 目录 2．【2023·常德】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是 的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E. (2)若BC＝6，AC＝8，求CE，DE的长． 返回 目录 解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝10. 又∵∠1＝∠2，∠AEC＝∠ACB＝90°， ∴△AEC∽△ACB， 返回 目录 3．【2023·厦门思明区一模】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝22.5°.以点C为圆心，CA为半径作圆，延长BA交⊙C于点D. (1)请在图中作出点C关于直线BD的对称点C1；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 返回 目录 解：如图，点C1即为所求． 3．【2023·厦门思明区一模】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝22.5°.以点C为圆心，CA为半径作圆，延长BA交⊙C于点D. (2)在(1)的条件下，连接C1D，求证：直线C1D与⊙C相切． 返回 目录 返回 目录 证明：连接DC，设CC1交AD于点E，如图所示． ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝22.5°. 又∵∠CAD是△ABC的外角，∴∠CAD＝2∠B＝45°. 在⊙C中，CA＝CD，∴∠CDA＝∠CAD＝45°. 由(1)得，DA垂直平分CC1.∴DC1＝DC， ∴在△C1DC中，DE平分∠C1DC. ∴∠C1DC＝2∠CDA＝90°，即C1D⊥CD. ∴直线C1D与⊙C相切． 4．【2023·赤峰】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，点F是AB延长线上一点，连接CF，AD，∠FCD＝2∠DAF. (1)求证：CF是⊙O的切线； 返回 目录 10 返回 目录 证明：连接OC，OD，如图所示， ∵CD⊥AB，AB为⊙O的直径，∴ ∴∠COB＝∠BOD. 易得∠BOD＝2∠DAF，∴∠COB＝2∠DAF. ∵∠FCD＝2∠DAF，∴∠COB＝∠FCD. ∵CD⊥AB，∴∠COB＋∠OCE＝90°， ∴∠FCD＋∠OCE＝90°， ∴OC⊥CF，∴CF是⊙O的切线． 4．【2023·赤峰】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，点F是AB延长线上一点，连接CF，AD，∠FCD＝2∠DAF. (2)若AF＝10，sin F＝ ，求CD的长． 返回 目录 解：由(1)得OC⊥CF. 又∵CE⊥AB，∴∠OCF＝∠CEF＝90°，∴∠F＋∠ECF＝90°，∠OCE＋∠ECF＝90°，∴∠F＝∠OCE. ∵sin F＝ 设OE＝2x，则OC＝OA＝3x. 返回 目录 返回 目录 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F. (1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； 返回 目录 解：直线DE与⊙O相切． 理由如下：连接OD.∵E是AC的中点，∴AE＝EC. 又∵OB＝OC，∴OE是△ABC的中位线．∴OE∥AB. ∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°. 返回 目录 ∴∠OFC＝∠BDC＝90°，即OE⊥CD. 又∵OD＝OC，∴∠DOE＝∠COE. 在△EOD和△EOC中， ∴△EOD≌△EOC(SAS)．∴∠EDO＝∠ECO＝90°， 即OD⊥DE. ∴直线DE与⊙O相切． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F. (2)求证：2CE2＝AB·EF. 返回 目录 证明：∵OE⊥CD，∴DF＝CF. 又∵AE＝EC，∴EF是△ACD的中位线．∴AD＝2EF.