专题05正弦定理和余弦定理（4知识点+5题型）-2023-2024学年高一数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019必修第二册）

专题5 正弦定理和余弦定理（4知识点+5题型）正弦定理和余弦定理 常考题型 三角形中常用常识和结论 三角形的面积公式 余弦定理及其推论 正弦定理及其推论 题型一：正弦定理及其应用 题型二：余弦定理及其应用 题型三：三角形的面积公式及应用 题型四：三角形解个数判断 题型四：利用正余弦定理判断三角形的形状 知识点一：正弦定理及其推论 （1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即． （2）由正弦定理推出的几个结论 ①， ②，，（实现边和角的互相转化） ③， ④， ⑤A<B⇔a<b⇔sinA<sinB． 知识点二：余弦定理及其推论 （1）余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC （2）余弦定理的证明：在中，内角，，所对的边分别为，， 如图，因为， ∴， 即 从而 同理，根据，， 可以得到， （3） 余弦定理的推论： （4）余弦定理在解三角形中的应用 ①类型1：已知两边及一角，解三角形 方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路： 一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； ②类型2：已知三边解三角形 法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 知识点三：三角形的面积公式 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心. （1）， （2） 证明：当为锐角三角形时，作于点， 设的面积为，则； 当为钝角三角形时，作边长的高， 则， ∴； 当为直角三角形时，上述结论依然成立. （3） 证明： （4）由正弦定理可得； （5）海伦公式：，其中 知识点四：三角形中常用常识和结论 （1）三角形中常用常识 ①任意三角形的内角和为180°；三条边满足：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. ②大边对大角，小边对小角，，所以在中的充要条件 ③在锐角中，一定有，即一个角的正弦值一定大于另一个角的余弦值，从而可以得到锐角中，一定有 ④， 所以，同理，， ，同理，， ，同理，， 所以，同理，， （2）判断三角形形状时常用到的结论 ①为直角三角形或或 ②为锐角三角形，且，且 ③为钝角三角形，且，且 ④若，则或 题型一：正弦定理及其应用 解题思路：（1）直接利用正弦定理求解； （2） 利用正弦定理的结论先转化再求解； ①， ②，，（实现边和角的互相转化） ③， ④， ⑤A<B⇔a<b⇔sinA<sinB． 例1．的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 例2．在中，角的对边分别为，且，则等于（    ） A． B． C． D． 例3．在中，角，，的对边分别为，，，已知，则（    ） A． B． C． D． 变式训练 4．在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则B=（    ） A． B．或 C． D．或 6．在中，角的对边分别为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)若，求的值； (3)若的面积为，，求的周长． 题型二：余弦定理及其应用 解题思路：已知两边及一角，解三角形和已知三边解三角形利用余弦定理求解 例1．在中，角的对边分别是，，则（ ） A． B． C． D． 例2．在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（    ） A． B． C． D． 例3．在△ABC中， 角 A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且.当取最小值时， 则（    ） A． B． C． D． 变式训练 4．已知D为的边AC上一点，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（ ） A． B． C． D． 7．已知中，角所对的边分别为，若，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．的内角的对边分别为，且满足 (1)求角； (2)若，求的周长． 题型三：三角形的面积公式及应用 解题思路：根据题目所给的条件选合适公式求面积：（1）， （2）（3） （4）由正弦定理可得； （5）海伦公式：，其中 例1．