1.1锐角三角函数 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

1 锐角三角函数 第一章 直角三角形的边角关系 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 正切 正切与梯子的倾斜程度的关系 坡度与坡角 正弦、余弦 锐角三角函数 知识点 正切 知1－讲 1 正切的概念 如图1-1-1，在Rt△ABC中，如果锐 角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便 随之确定，这个比叫做∠A的正切，记 作tan A，即tan A= . 如果用a，b分别表示∠A的对边与邻边，那么tan A=. 知1－讲 特别提醒 ● tan A不表示“tan”乘“A”.tan A是一个完整的符号，它表示∠A的正切. ● tan A＞0且没有单位，它表示一个比值，tan A的大小只与∠A的大小有关. 知1－练 例 1 [中考·桂林] 如图1-1-2，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足为D，则 tan ∠BCD=________. 知1－练 解题秘方：紧扣正切的定义，找出该锐角所在的直角三角形的两直角边的比值，或与之相等的锐角所在直角三角形的两直角边的比值. 解：∵∠BCD+ ∠ACD=90°，∠CAB+ ∠ACD=90°， ∴∠BCD= ∠CAB， ∴ tan ∠BCD=tan ∠CAB= = = . 知1－练 1-1. [中考·连云港] 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，AC=4，OE=2．求OD的长及tan ∠EDO的值. 知1－练 知2－讲 知识点 正切与梯子的倾斜程度的关系 2 正切与梯子的倾斜程度的关系 (1)当梯子与地面所成的角为锐角A 时 ，tan A的值越大，梯子越陡. 因此，可用梯子的倾斜角的正切值来描述梯子的倾斜程度. tan A= 知2－讲 (2)当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定，这一比值只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关. (3)对“倾斜程度”的理解： ①倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾斜角越大的物体，就说它放得越“陡”. ②通过计算物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程度，夹角的正切值越大，物体放置得越“陡”. 知2－讲 特别提醒 ●在很多实际问题中，人们无法测量倾斜角(如梯子与地面的夹角)，这时通常采用倾斜角的正切值来刻画倾斜程度. ●一个锐角的正切值随角度的增大(减小)而增大(减小). 知2－练 如图1-1-3，李佳怡和王慧珍将两根木棒分别斜靠在墙上，其中AB=10 cm，CD=6 cm，BE=6 cm，DE= 2 cm.你能判断出哪根木棒更陡吗？说明理由. 例 2 解题秘方：紧扣倾斜程度与正切值的关系以及正切值的求法解决问题. 知2－练 解：木棒CD更陡. 理由如下： 在Rt△ABE中，AE= = = 8(cm)， ∴ tan ∠ABE = = = . 在Rt△CDE中，CE = = = 4(cm)， ∴ tan ∠CDE = = = 2. ∵ tan ∠CDE＞ tan ∠ABE，∴木棒CD更陡. 知2－练 方法点拨：比较物体倾斜程度的两种方法. 1. 通过测量物体与地面夹角的大小来判断物体的倾斜程度，夹角越大，物体放置得越陡. 2. 通过计算物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程度，夹角的正切值越大，物体放置得越陡. 知2－练 2-1. 如图，梯子AB和EF中，更陡的是( ) A. 一样陡 B. 梯子AB C. 梯子EF D. 不能确定 C 知3－讲 知识点 坡度与坡角 3 名称 定义 表示方法 关系 举例 坡度 坡面的铅直高度h与水平宽度l的比称为坡度(或坡比)，记作i i= 坡度是坡角的正切值， 坡度越大，坡角越大， 坡面就越陡 当h=1，l=时， 坡度i= 1∶，坡角α为30° 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角(或倾斜角)，记作∠α tanα = 知3－讲 特别提醒 ●坡度是一个比，坡角是一个角. ●坡度一般写成1∶m的形式，比的前项为1，后项m可以是小数，也可以是带根号的数. 知3－练 如图1-1-4， 拦水坝的横截面为梯形ABCD，BC∥AD，斜坡AB的坡度为1∶3，坝顶宽BC=3 m，坝高为4 m，斜坡CD=5 m . 例 3 解题秘方：紧扣坡度与坡面的倾斜程度之间的关系解决问题. 知3－练 (1)试比较斜坡AB和CD哪个更陡； 解：如图1-1-4，过点C作CF⊥AD，垂足为F， 则CF=4 m. 在Rt△CFD中，根据勾股定理， 得FD = = = 3(m)， ∴ tan D = = .∵ tan A= ，∴ tan D＞ tan A， ∴斜坡CD更陡. 知3－练 (2)求坝底AD的长. 解：如图1-1-4，过点B作BE⊥AD，垂足为E，易知BE=4 m，EF=BC=3 m. 在Rt△AEB中，∵ tan A= = ，∴ AE=