6.3.1二项式定理第一课时教案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

课题： 6.3.1 二项式定理（第一课时） 【课程标准】 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。 【学习目标】 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理； 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式； 3.通过学习二项式定理的有关内容，提升逻辑推理素养及数学运算素养。 【重点难点】 重点：用计数原理分析的展开式，得到二项式定理.； 难点：用计数原理分析二项式的展开式，用两个计数原理证明二项式定理。 【教学方法】 情境式教学法、问题式教学法 【导学流程】 1、 导(复习导入，3min）： 同学们，组合数的定义你们还记得么？下列场景是否可以利用组合数来解决吗？ 已知，两个因式中选2个相乘，有几种情况？用组合计数符号如何表示？ 其中一个因式选，另一个不选，又有几种情况？用组合计数符号如何表示？ 两个因式中不选2个相乘，有几种情况？用组合计数符号如何表示？ 从上面，我们发现，可以用计数原理来解释完全平方公式展开式，本节，我们用它们解决一个数学上有着广泛应用的展开的问题。 二、学（6min）：逐字阅读P29，初步感知理解如何通过计数原理来展开。 三、思（发放导纲，7min）：请结合导纲完成基础感知部分。 1、仿照教材29页过程，利用计数原理，写出，的展开过程。 展开后每项的次数有什么特点？是否有同类项？你能自己合并同类项后并按降幂排序么？ 每项的次数都是3次，有同类项。合并后是 可以看到，是 3 个相乘，只要从第一个中选一项，再从第 二 个中选一项，最后从第 三 个中选一项，就得到展开式的第一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，的展开式共有项，而且每一项都是的形式． 下面我们再来分析一下形如的同类项的个数． 当时，，这是由3个中都不选得到的．因此，出现的次数相当于从3个中取0个（都取）的组合数，即只有1个． 当时，，这是由1个中选，另2个中选得到的．由于选定后，的选法也随之确定，因此，出现的次数相当于从3个中取1个的组合数，即共有3个． 当时，，这是由2个中都选得到的．另1个中选得到的.因此，出现次数相当于从2个中取2个的组合数，即有3个． 当时，，这是由3个中都选得到的．因此，出现的次数相当于从3个中取3个的组合数，即只有1个． 由上述分析可以得到 ． 同理可知，是 4 个相乘，只要从每一个中选择或者选择，就可以得到其中一项。于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，的展开式共有项。 同理，合并同类项后，的个数可以由组合数计算得到，若则对应项的个数为，若对应项的个数为；若对应项的个数为； 由上述分析可以得到 ． 4、 议（7min）：接下来，请大家核对基础感知答案，合作小组开启群学群议，由学科组长领导小组谈论解决自学困惑及问题探究一、二、三。 探究一：展开后，未合并同类项之前，有多少项？ 合并同类项后，有多少项，分别是哪些？项数与的指数有什么关系？ 每项的个数是多少，与什么有关系？请仿照基础感知写出它的展开式。 探究二：是否也可以使用上述展开的方式进行？请用语言说明。猜想的展开式，并观察合并同类项后的每一项系数可以如何表示，项与项之间是否有规律？每一项的次数与是否有联系？ 探究三：求出的展开式。 五、展（7min）：下面进入展示环节，请各小组积极展示！ 预设学生回答展示： 探究一：展开后，未合并同类项之前，共有项， 合并同类项后，有6项。分别为、、、、、，项数比指数多1个。 每个项的个数分别为、、、、、。其中组合的下标为的指数，上标分别对应项中的次数。 探究二：＝。 从上式观察发现，合并后，一共有项。每一项的系数可以用来表示。每一项可以表示为。每一项的次数都是。 探究三： ＝ 6、 评（10min）:老师讲解为主，学生笔记为辅 ； ． 从上述对具体问题的分析得到启发，对于任意正整数，我们有如下猜想： （1） 追问：你能说明这一猜想的正确性吗？ 下面我们对上述猜想的正确性予以说明． 由于是个相乘，每个在相乘时有两种选择，选或，而且每个中的或都选定后，才能得到展开式的一项．因此，由分步乘法计数原理可知，在合并同类项之前，的展开式共有项，其中每一项都是的形式． 对于每个，对应的项是由个选，另外个中选得到的．由于选定后，的选法也随之确定，因此，出现的次数相当于从个中取个的组合数，这样，的展开式中，共有个，将它们合并同类项，就可以得以上述二项展开式． 公式（1）叫做二项式定理（binomial theorem），右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数．式中的叫做二项