8.2 一元线性回归模型及其应用（word教参)-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

8.2　一元线性回归模型及其应用 课标解读 学法指导 1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义. 2.了解模型参数的统计意义. 3.了解最小二乘原理. 4.掌握求一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法. 5.理解残差分析的原理和方法. 6.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测. 1.会根据两个变量的样本点取值求经验回归方程，并会利用经验回归方程对总体进行估计和预测. 2.结合实例，会通过残差分析、决定系数比较变量之间的线性相关性强弱. 3.能够根据变量之间的相关性解决简单的实际问题，结合具体实例，掌握运用一元线性回归模型分析的方法. 4.通过将简单的幂型函数、指数型函数转化为线性函数的典型例子，体会非线性回归模型转化为线性回归模型的思想和方法. 5.通过对回归模型及其应用的学习，发展数学抽象、数学运算和数据分析的核心素养. 必备知识·基础落实 问题导入 某农场经过观测得到水稻产量和施化肥量的统计数据如表所示. 施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455 问题1：你能利用散点图，判断它们是否有相关关系吗？ 提示：能. 问题2：水稻产量会随着施化肥量的增加而一直增长吗？ 提示：不会. 问题3：能用施化肥量准确预测水稻产量吗？ 提示：不能，只能是近似值. 微梳理 要点一　一元线性回归模型 一元线性回归模型的完整表达式为其中Y称为　因变量　或　响应变量　，x称为自变量或　解释　变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的　随机误差　. 思考：具有相关关系的两个变量，其样本点散布在某一条直线y＝bx＋a的附近，可以用一次函数y＝bx＋a 来描述两个变量之间的关系吗？ 提示：不可以. 要点二　最小二乘法与经验回归方程 1.最小二乘法 ＝x＋称为Y关于x的　经验回归方程　，也称　经验回归函数　或　经验回归公式　，其图形称为　经验回归直线　.这种求经验回归方程的方法叫做　最小二乘法　，求得的，叫做b，a的　最小二乘估计　. 2.经验回归方程的系数计算公式 经验回归方程 的计算公式 的计算公式 ＝　x＋　 ＝　　 ＝ ＝－ 3.经验回归方程的性质 （1）经验回归方程一定过点　（，）　； （2）一次函数＝x＋的单调性由的符号决定，函数递增的充要条件是　＞0　； （3）方程中的实际意义：当x增大一个单位时，　增大　个单位. 思考：正相关、负相关与的符号有何关系？ 提示：Y与x正相关的充要条件是＞0，Y与x负相关的充要条件是＜0. 要点三　残差 1.定义：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为　观测值　，通过经验回归方程得到的称为　预测值　，　观测值　减去　预测值　称为　残差　.　 2.残差图 （1）作图时　纵坐标　为残差，横坐标可以选为样本编号，或有关数据. （2）残差点　均匀　地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适.带状区域的宽度　越窄　，模型拟合精度　越高　，经验回归方程的预报精度越高. 3.决定系数：R2＝1－，其中（yi－）2为残差平方和.R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）经验回归方程一定过样本中的某一个点. （　　） （2）选取一组数据中的部分点得到的经验回归方程与由整组数据得到的经验回归方程是同一个方程. （　　） （3）在经验回归模型中，R2越接近于1，表示解释变量和响应变量的线性相关性越强. （　　） （4）在画两个变量的散点图时，响应变量在x轴上，解释变量在y轴上. （　　） 解析：（1）错误.经验回归方程一定过点（，），可能过样本中的某个或某些点，也可能不过样本中的任意一个点. （2）错误.选取一组数据中的部分点得到的经验回归方程与由整组数据得到的经验回归方程不一定是同一个方程. （3）正确.R2越接近于1，模型的拟合效果越好，变量的相关性就越强. （4）错误.在画两个变量的散点图时，解释变量在x轴上，响应变量在y轴上. 答案：（1）×　（2）×　（3）√　（4）× 关键能力·素养提升 探究一　经验回归方程的求解 【例题1】某地电影院为了了解当地影迷对票价的看法，进行了一次调研，得到了票价x（单位：元）与渴望观影人数y（单位：万人）的结果如表所示. x/元 30 40 50 60 y/万人 4.5 4 3 2.5 （1）若y与x具有较强的相关关系，试分析y与x之间是正相关还是负相关； （2）请根据表格提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程； （3）根据（2）中求出的经验回归方程，预测