7.5 正态分布（word教参)-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7.5　正态分布 课标解读 学法指导 1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量. 2.通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征. 3.了解正态分布的均值、方差及其含义. 1.通过图象了解正态曲线的特征，并结合概率与面积的关系来求服从正态分布的随机变量的概率. 2.结合服从正态分布的随机变量的概率密度曲线，记住随机变量在区间[μ－σ，μ＋σ]， [μ－2σ，μ＋2σ]和[μ－3σ，μ＋3σ]上取值的概率. 3.通过了解正态分布的特征，能够利用正态曲线分析实际问题，发展数学抽象、数学建模和数据分析的核心素养. 必备知识·基础落实 问题导入 如图是一块高尔顿板示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内. 问题1：小球落在各小槽内的机会相同吗？ 提示：不相同. 问题2：落在哪几个小槽内的小球多？ 提示：落在中间几个小槽内的小球多. 微梳理 要点一　正态曲线 1.刻画随机误差分布的解析式为f（x）＝·，x∈R，其中μ∈R，σ＞0为参数.称f（x）为　正态密度函数　，称它的图象为　正态密度曲线　，简称　正态曲线　. 2.特点 （1）曲线是单峰的，它关于直线　x＝μ　对称； （2）曲线在x＝μ处达到峰值　　； （3）当｜x｜无限增大时，曲线无限接近　x　轴. 要点二　正态分布 1.定义：若随机变量X的概率分布密度函数为f（x），则称随机变量X服从正态分布，记为　X～N（μ，σ2）　.当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从　标准正态分布　. 2.期望与方差：若X～N（μ，σ2），则E（X）＝μ，D（X）＝σ2.在实际问题中，参数μ，σ可以分别用样本均值和样本标准差来估计. 3.正态变量在三个特殊区间内取值的概率 （1）P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7； （2）P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 5； （3）P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997 3. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 思考：μ，σ取值不同对正态曲线有何影响？ 提示：若参数σ取固定值，则正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移；若μ取固定值，则对任意的σ＞0，曲线与x轴围成的面积总为1，因此当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中，当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）正态曲线是一条钟形曲线. （　　） （2）正态曲线在x轴的上方，并且关于直线x＝σ对称. （　　） （3）正态曲线的对称轴的位置由μ确定，曲线形状由σ确定. （　　） 解析：（1）正确.由正态密度曲线的形状可知该说法正确. （2）错误.正态曲线关于直线x＝μ对称. （3）正确.根据正态分布的概念和曲线可知该说法正确. 答案：（1）√　（2）×　（3）√ 关键能力·素养提升 探究一　正态曲线及其特点 【例题1】（1）（多选）某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布），则由图中的曲线可得下列说法中正确的是（　　） A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都居中 D.甲、乙、丙的总体的平均数相同 （2）如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差. 解析：（1）由题中图象可知三科总体的平均数（均值）相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.故选AD项. 答案：AD （2）从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20.由＝，解得σ＝.于是概率密度函数的解析式是f（x）＝，x∈（－∞，＋∞）.总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝（）2＝2. 规律总结 利用正态曲线的特点求参数μ，σ （1）正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象可求μ. （2）正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ. [注意]参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计. 【变式1】（1）函数f（x）＝（其中μ＜0）的图象可能为（　　） A B C D （2）设两个正态分布N（μ1，）（σ1＞0）和N（μ2，）（σ2＞0）的