7.4.2 超几何分布（word教参)-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7.4.2　超几何分布 必备知识·基础落实 问题导入 　已知在10件产品中有4件次品，现从这10件产品中任取3件. 问题1：抽取的3件产品中有1件次品，该事件服从二项分布吗？其概率是多少？ 提示：不服从，概率P＝＝. 问题2：若用X表示取得的次品数，则X的可能取值是多少？P（X＝2）是多少？ 提示：X的可能取值是0，1，2，3，P（X＝2）＝＝. 微梳理 要点　超几何分布 1.定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P（X＝k）＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 2.均值：若随机变量X服从超几何分布，则E（X）＝　　. 思考：不放回抽取和有放回抽取有何不同？ 提示：抽取次数不同，不放回抽取只抽取一次，一次抽取n个，有放回抽取要抽取n次，每次抽取一个；概率模型不同，不放回抽取服从超几何分布，有放回抽取服从二项分布. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X服从超几何分布. （　　） （2）盒中有4个白球和3个黑球，不放回地摸取3个球，摸到黑球的个数X服从超几何分布. （　　） （3）某射手的命中率为0.8，现对目标射击3次，命中目标的次数X服从超几何分布. （　　） （4）超几何分布中随机变量X的取值k的最大值是次品数M. （　　） 解析：（1）错误.正面向上的次数X服从二项分布. （2）正确.由超几何分布的定义知，摸到黑球的个数X服从超几何分布. （3）错误.命中目标的次数X服从二项分布. （4）错误.当抽取的产品的件数n不大于总体中的次品件数M时，k的最大值为n. 答案：（1）×　（2）√　（3）×　（4）× 关键能力·素养提升 探究一　超几何分布的概率 【例题1】（1）盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么概率是的事件为（　　） A.恰有1个是坏的 B.4个全是好的 C.恰有2个是好的 D.至多有2个是坏的 （2）现有来自甲、乙两班的学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为，则7名学生中甲班学生人数为　　. 解析：（1）对于A项，概率为＝；对于B项，概率为＝；对于C项，概率为＝；对于D项，包括没有坏的、恰有1个是坏的和恰有2个是坏的三种情况，根据A项，恰有1个是坏的概率是＞，故D项不正确.故选C项. （2）设甲班学生人数为m，则＝＝，即m2－m－6＝0，解得m＝－2（舍），m＝3. 答案：（1）C　（2）3 规律总结 （1）超几何分布的判定关键是看随机变量是否满足超几何分布的特征： ①超几何分布的抽取是不放回的； ②超几何分布中随机变量X取某一个值的概率，本质上还是这一事件在该随机试验中发生的次数与试验总次数的比. （2）超几何分布是随机变量的另一种分布形式.在这里，要特别注意公式中的各个字母的取值范围及其含义. 【变式1】（1）在含有3件次品的8件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P（X＝2）＝　　. （2）数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格.某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是　　. 解析：（1）X满足超几何分布，故P（X＝2）＝＝. （2）设X表示解答正确的题数，由超几何分布的概率公式，可得他能及格的概率是P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝＋＝. 答案：（1）　（2） 探究二　与超几何分布有关的分布列 【例题2】箱中装有4个白球和m个黑球.规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等.记随机变量X为取出的3个球所得分数之和. （1）若P（X＝6）＝，求m的值； （2）当m＝3时，求X的分布列. 解析：（1）由题意得，只有当取出的3个球都是白球时，随机变量X＝6， 所以P（X＝6）＝＝，即＝10，所以m＝1. （2）由题意得，当m＝3时，X的可能取值为 3，4，5，6， 则 P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝， P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝＝. 所以X的分布列如表所示. X 3 4 5 6 P 规律总结　　 　　　　　　　　　 关于超几何分布的分布列 （1）先确定随机变量的取值，再分别利用公式计算相应的概率，最后列出分布列. （2）当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示. 【变式2】袋中装有3个白棋子，2个黑棋子，从袋中随机地取出棋子，若取到一个白棋子得3分，取到一个黑棋子得1分，现从袋中任取2个棋子. （1）求得分X的分布列；