7.4.1 二项分布（word教参)-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7.4　二项分布与超几何分布 课标解读 学法指导 1.通过具体实例，了解伯努利试验. 2.掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题. 3.通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题. 1.注意理解在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率公式与二项式定理之间的联系. 2.在利用二项分布解决实际问题的过程中，深化对随机现象的认识，体会特殊分布的应用. 3.学习超几何分布时，重点注意公式中字母N，M和n的范围及其意义. 4.通过学习二项分布和超几何分布的概念及其数学特征，发展数学抽象、数据分析和数学运算的核心素养. 7.4.1　二项分布 必备知识·基础落实 问题导入 　在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用Ai（i＝1，2，3）表示第i次投篮命中这件事，用B1表示仅投中1次这件事. 问题1：试用Ai表示B1. 提示：B1＝（A1）∪（A2）∪（A3）. 问题2：试求P（B1）. 提示：因为P（A1）＝P（A2）＝P（A3）＝0.8，且A1，A2，A3两两互斥，所以P（B1）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22＝3×0.8×0.22. 问题3：用Bk表示投中k次这件事，试求P（B2）和P（B3）. 提示：P（B2）＝3×0.2×0.82，P（B3）＝0.83. 问题4：由以上结果你能得出什么结论？ 提示：P（Bk）＝×0.8k×0.23－k，k＝0，1，2，3. 微梳理 要点一　n重伯努利试验 1.伯努利试验：把只包含两个　可能结果　的试验叫做伯努利试验. 2.定义：将一个伯努利试验独立地　重复　进行　n次　所组成的随机试验称为n重伯努利试验. 3.特征：（1）同一个伯努利试验重复做　n次　；（2）各次试验的结果　相互独立　. 思考：定义中“重复”的含义是什么？ 提示：“重复”意味着各次试验成功的概率相同. 要点二　二项分布 1.定义：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜p＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为　P（X＝k）＝pk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n　.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作　X～B（n，p）　. 2.二项分布的均值与方差：若X服从二项分布，即X～B（n，p），则E（X）＝　np　，D（X）＝　np（1－p）　.　 思考：二项分布与两点分布有何关系？ 提示：两点分布是一种特殊的二项分布，是n＝1时的二项分布；二项分布可以看作两点分布的一般形式. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）在伯努利试验中，关注的是事件A是否发生，而在n重伯努利试验中，关注的是事件A发生的次数. （　　） （2）n重伯努利试验中每次试验只有发生与不发生两种结果. （　　） （3）依次投掷4枚质地不同的骰子，点数1出现2次的试验是4重伯努利试验. （　　） （4）若随机变量X～B（n，p），则X＝1，2，3，…，n. （　　） 解析：（1）正确.由伯努利试验的相关概念知说法正确. （2）正确.由n重伯努利试验的相关概念可知说法正确. （3）错误.因为骰子的质地不同，点数1出现的概率不同，因此该试验不是4重伯努利试验. （4）错误.X＝0，1，2，…，n. 答案：（1）√　（2）√　（3）×　（4）× 关键能力·素养提升 探究一　n重伯努利试验的概念 【例题1】（1）（多选）下列试验不是n重伯努利试验的是（　　） A.依次投掷4枚质地不同的硬币，3次正面向上 B.某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中 C.口袋中装有5个白球、3个红球、2个黑球，依次不放回地从中抽取5个球，恰好抽出4个白球 D.一台加工质量不稳定的机床连续加工出20个零件，其中出现5个次品 （2）加工某种零件需经过三道工序.设第一、二、三道工序的合格率分别为，，，且各道工序互不影响. ①加工一个这种零件是否是3重伯努利试验？求加工一个这种零件是合格品的概率. ②加工20个这种零件，记合格品的个数为X，则X是否服从二项分布？ 解析：（1）A项，试验的条件不同（质地不同），因此不是n重伯努利试验；B项，某人射击且击中目标的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验；C项，每次抽取，试验的结果有三种不同颜色且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验；D项，加工质量不稳定说明次品率不稳定，因此不是n重伯努利试验.故选ACD项. 答案：ACD （2）①加工一个这种零件需经过三道工序，各道工序互不影响，它们是独立的，但三道工序的合格率不同，因此加工一个这种零件不是3重伯努利试验.由事件的独立性知，加工一个这种零件是合格品的概率