7.3.2 离散型随机变量的方差（word教参)-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7.3.2　离散型随机变量的方差 必备知识·基础落实 问题导入 　A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如表所示. A机床 次品数 X1 0 1 2 3 P 0.7 0.2 0.06 0.04 B机床 次品数 X2 0 1 2 3 P 0.8 0.06 0.04 0.10 问题1：试求E（X1），E（X2）. 提示：E（X1）＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44，E（X2）＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44. 问题2：由E（X1）和E（X2）的值能比较两台机床的产品质量吗？ 提示：不能，因为E（X1）＝E（X2）. 问题3：试想利用什么指标可以比较加工质量？ 提示：样本方差. 微梳理 要点　离散型随机变量的方差 1.定义：如果离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称D（X）＝（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2·p2＋…＋（xn－E（X））2pn＝　（xi－E（X））2pi　为随机变量X的方差，有时也记为Var（X），并称为随机变量X的标准差，记为　σ（X）　.在方差的计算中，利用结论D（X）＝　pi－（E（X））2　经常可以使计算简化. 2.意义：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的　离散程度　.方差或标准差越小，随机变量的取值越　集中　；方差或标准差越大，随机变量的取值越　分散　. 3.性质：D（aX＋b）＝　a2D（X）　，D（C）＝　0　（C是常数）.　 思考：离散型随机变量的方差和样本方差之间有何关系？ 提示：离散型随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，不随样本的变化而变化；样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定. （　　） （2）离散型随机变量的方差与标准差的单位是相同的. （　　） （3）离散型随机变量ξ的方差D（ξ）反映了ξ取值的波动水平. （　　） （4）若随机变量X的方差D（X）＝，则D（2X＋1）＝2×＝. （　　） 解析：（1）错误.离散型随机变量的方差越小，随机变量越稳定. （2）错误.单位不同，方差的单位是随机变量单位的平方；标准差与随机变量本身有相同的单位. （3）正确.由方差的意义可知说法正确. （4）错误.由方差的性质得D（2X＋1）＝22D（X）＝. 答案：（1）×　（2）×　（3）√　（4）× 关键能力·素养提升 探究一　离散型随机变量方差的公式与性质 【例题1】已知η的分布列如表所示. η 0 10 20 50 60 P （1）求方差及标准差； （2）设Y＝2η－E（η），求D（Y）. 解析：（1）因为E（η）＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，所以D（η）＝（0－16）2×＋（10－16）2×＋（20－16）2×＋（50－16）2×＋（60－16）2×＝384，所以＝8. （2）因为Y＝2η－E（η），所以D（Y）＝D（2η－E（η））＝22D（η）＝4×384＝1 536. 规律总结 关于方差性质的四点说明 （1）当a＝0时，D（aX＋b）＝D（b）＝0，即常数的方差等于0. （2）当a＝1时，D（X＋b）＝D（X），即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身. （3）当b＝0时，D（aX）＝a2D（X），即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积. （4）当a，b均为非零常数时，随机变量η＝aX＋b的方差D（η）＝D（aX＋b）＝a2D（X）. 【变式1】（1）设0＜a＜1，已知随机变量X的分布列如表所示. X 0 a 1 P 若D（X）＝，则a＝（　　） A. B. C. D. （2）已知随机变量X的分布列如表所示. X 0 1 2 P 设随机变量Y＝2X＋3，则D（Y）＝（　　） A. B. C. D. 解析：（1）E（X）＝0×＋a×＋1×＝，D（X）＝×＋×＋×＝[（a＋1）2＋（2a－1）2＋（a－2）2]＝（a2－a＋1）＝，所以4a2－4a＋4＝3，即（2a－1）2＝0，解得a＝.故选A项. （2）因为E（X）＝0×＋1×＋2×＝1，所以D（X）＝pi－（E（X））2＝02×＋12×＋22×－12＝.所以D（Y）＝D（2X＋3）＝22D（X）＝.故选A项. 答案：（1）A　（2）A 探究二　离散型随机变量的方差 【例题2】在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和