7.3.1 离散型随机变量的均值（word教参)-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7.3　离散型随机变量的数字特征 课标解读 学法指导 1.理解离散型随机变量的均值. 2.理解离散型随机变量的方差. 3.理解离散型随机变量的均值、方差的性质. 1.均值与方差是离散型随机变量的数字特征.对均值和方差的理解，可类比在统计部分所学习的平均数和方差. 2.均值的计算公式要熟记，具体可以类比统计部分的加权平均数的计算公式记忆；方差公式可以类比统计部分的方差的公式记忆. 3.对于离散型随机变量的均值与方差，要加强对其实际意义的理解和把握. 4.通过研究离散型随机变量的均值和方差，发展数学抽象、数据分析和数学运算的核心素养. 7.3.1　离散型随机变量的均值 必备知识·基础落实 问题导入 　设有12个西瓜，其中重5 kg的有4个，重6 kg的有3个，重7 kg的有5个. 问题1：任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的质量，试想X可以取哪些值？ 提示：X＝5，6，7. 问题2：X取上述值时对应的概率分别是多少？ 提示：P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝＝，P（X＝7）＝. 问题3：试想每个西瓜的平均质量该如何求？ 提示：＝5×＋6×＋7×. 微梳理 要点一　离散型随机变量的均值 1.定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E（X）＝　x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称　期望　. 2.意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，反映了随机变量取值的　平均水平　.　 3.性质：设X的分布列为P（X＝xi）＝pi，i＝1，2，…，n.一般地，结论E（aX＋b）＝　aE（X）＋b　成立.　 思考：随机变量的均值和样本的平均值是常数还是随机变量？ 提示：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取；样本的平均值是一个随机变量，它是随着样本的不同而变化的. 要点二　两点分布的均值 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E（X）＝0×（1－p）＋1×p＝p. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）离散型随机变量的均值E（X）是一个随机数值. （　　） （2）随机变量的均值相同，则两个分布也一定相同. （　　） （3）若X服从两点分布，则E（X）＝np. （　　） （4）若随机变量X的数学期望E（X）＝2，则E（2X）＝4. （　　） 解析：（1）错误.离散型随机变量的均值是一个常数，它不具有随机性. （2）错误.两个随机变量的分布相同，则它们的均值一定相同；反之不一定成立. （3）错误.若X服从两点分布，则E（X）＝p. （4）正确.由均值的性质可知正确. 答案：（1）×　（2）×　（3）×　（4）√ 关键能力·素养提升 探究一　离散型随机变量均值的公式与性质 【例题1】已知随机变量X的分布列如表所示. X －2 －1 0 1 2 P m （1）若Y＝－2X，求E（Y）的值； （2）若ξ＝aX＋3，且E（ξ）＝－，求a的值. 解析：（1）由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝， 所以E（X）＝（－2）×＋（－1）×＋0×＋1×＋2×＝－. 由Y＝－2X，得E（Y）＝－2E（X）＝－2×＝. （2）因为E（ξ）＝E（aX＋3）＝aE（X）＋3＝－a＋3＝－，所以a＝15. 规律总结 若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数，求E（ξ）的两种思路： （1）先求出E（X），再利用公式E（aX＋b）＝aE（X）＋b求E（ξ）； （2）利用X的分布列得到ξ的分布列，关键是由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E（ξ）. 【变式1】（1）随机变量X的分布列如表所示，则E（5X＋4）＝（　　） X 0 2 4 P 0.3 0.2 0.5 A.16 B.11 C.2.2 D.2.3 （2）已知离散型随机变量X的概率分布列如表所示. X 1 2 3 4 P m ①求m的值； ②求P（｜X－3｜＝1）和E（（X＋2）2）. 解析：（1）由表格可求E（X）＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E（5X＋4）＝5E（X）＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A项. 答案：A （2）①由概率分布列的性质可得＋m＋＋＝1，解得m＝. ②P（｜X－3｜＝1）＝P（X＝2）＋P（X＝4）＝＋＝.因为E（X）＝1×＋2×＋3×＋4×＝，E（X2）＝12×＋22×＋32×＋42×＝，所以E（（X＋2）2）＝E（X2＋4X＋4）＝E（X2）＋4E（X）＋4＝＋4×＋4＝. 探究二　离散型随机变量的均值 【例题2】（2022·北京改编）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，