7.1.2 全概率公式（word教参)-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7.1.2　全概率公式 必备知识·基础落实 问题导入 　甲、乙两人向同一飞机射击，设甲、乙射中的概率分别为0.4，0.5，又设若只有一人射中，飞机坠落的概率为0.2，若有两人射中，飞机必坠落.记事件A为“飞机坠落”，事件Bi为“i个人射中飞机”，i＝1，2. 问题1：一人射中飞机的概率是多少？ 提示：P（B1）＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5. 问题2：两人都射中飞机的概率是多少？ 提示：P（B2）＝0.4×0.5＝0.2. 问题3：飞机坠落的概率等于P（B1）与P（B2）的和吗？ 提示：不等于. 微梳理 要点一　全概率公式的定义 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝　Ω　，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆　Ω　，有P（B）＝　P（Ai）P（B｜Ai）　，称这个公式为全概率公式.全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式. 思考：计算P（B）时，如果事件B的表达式中有积又有和，是否就一定要用全概率公式？ 提示：不一定.这是对全概率公式形式上的认识，完全把它作为一个“公式”来理解是不正确的. 要点二　贝叶斯公式* 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P（B）＞0，有P（Ai｜B）＝　　＝，i＝1，2，…，n. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）应用全概率公式时，各个事件并不一定互斥. （　　） （2）对任意事件B⊆Ω，全概率公式P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）都成立. （　　） （3）全概率公式中样本空间Ω中的事件Ai需满足的条件为Ai＝Ω. （　　） 解析：（1）错误.各个事件应两两互斥. （2）正确.根据全概率公式的定义可知说法正确. （3）错误.需满足的条件为AiAj＝⌀（i≠j），Ai＝Ω，且P（Ai）＞0. 答案：（1）×　（2）√　（3）× 关键能力·素养提升 探究一　全概率公式的运用 【例题1】设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库中，假设第1，2车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率. 解析：设事件B为“从仓库中随机提出的一台产品是合格品”，事件Ai为“提出的一台产品是第i车间生产的”（i＝1，2）， 则Ω＝A1∪A2，且A1与A2互斥， 由题意得P（A1）＝＝0.4，P（A2）＝＝0.6， P（B｜A1）＝0.85，P（B｜A2）＝0.88. 由全概率公式得P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）·P（B｜A2）＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868.　 规律总结 （1）运用全概率公式的一般步骤 ①求出样本空间Ω的一个划分A1，A2，…，An； ②求P（Ai）（i＝1，2，…，n）； ③求P（B｜Ai）（i＝1，2，…，n）； ④求目标事件的概率P（B）. （2）运用全概率公式的关键是寻找其中的完备事件组A1，A2，…，An，该完备事件组是为了计算P（B）而人为地引入的，选择适当的完备事件组可以使计算大为简化；选择不适当，则不利于问题的解决. 【变式1】某电器商店出售两家工厂生产的电视机，甲厂生产的电视机占该商店所售电视机总量的70％，乙厂生产的电视机占该商店所售电视机总量的30％，甲厂生产的电视机合格率为95％，乙厂生产的电视机合格率为80％，则该商店所售电视机的合格率是　　. 解析：设事件A为“该商店所售电视机合格”，事件B为“该商店所售电视机是由甲厂生产的”，事件C为“该商店所售电视机是由乙厂生产的”. 由题知P（B）＝70％＝0.7，P（A｜B）＝95％＝0.95，P（C）＝30％＝0.3，P（A｜C）＝80％＝0.8， 所以P（A）＝P（B）P（A｜B）＋P（C）P（A｜C）＝0.7×0.95＋0.3×0.8＝0.905. 所以该商店所售电视机的合格率为90.5％. 答案：90.5％ 探究二　贝叶斯公式的应用* 【例题2】已知某工厂有两条生产线a和b，a生产线生产的产品占65％，b生产线生产的产品占35％，a生产线生产的产品的合格率为90％，b生产线生产的产品的合格率为85％.在此工厂生产的产品中随机抽取一件，已知抽到的是合格品，求此产品是a生产线生产的概率（精确到0.1）. 解析：由题意设D表示抽取的是合格品，A表示该产品由a生产线生产，B表示该产品由b生产线生产，则P（A）＝0.65，P（B）＝0.35，P（D｜A）＝0.9，P（D｜B）＝0.85， 由贝叶斯公式得，所求概率为P（A｜D）＝ ＝ ＝≈0.7. 规律总结 应用贝叶斯公式的前提 若随机试验可以分两个阶