6.3.1 第1课时 二项式定理（word教参)-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

6.3　二项式定理 课标解读 学法指导 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 1.可以用两个计数原理分析（a＋b）2的展开式，归纳得出二项式定理. 2.从计数原理的角度思考、理解、证明二项式定理.事实上，二项式定理是两个计数原理的直接应用. 3.二项式定理是一个恒等式，要善于观察，学会转化，合理使用二项式定理和二项展开式的通项解决问题. 4.学会从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法，去开展探究活动，发现或证明数学结论. 5.通过学习二项式定理、二项式系数性质的探究及应用，发展逻辑推理、数学运算和直观想象的核心素养. 6.3.1　二项式定理 必备知识·基础落实 问题导入 　问题1：我们在初中学习了（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导（a＋b）3，（a＋b）4的展开式. 提示：（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，（a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4. 问题2：（a＋b）3，（a＋b）4的展开式有何特点？ 提示：（a＋b）3的展开式有4项，每一项的次数是3；（a＋b）4的展开式有5项，每一项的次数是4. 问题3：你能用组合的观点说明（a＋b）4是如何展开的吗？ 提示：（a＋b）4＝（a＋b）（a＋b）（a＋b）（a＋b）.由多项式的乘法法则知，从每个（a＋b）中选a或选b相乘即得展开式中的一项.若都选a，则得a4b0；若有一个选b，其余三个选a，则得a3b；若有两个选b，其余两个选a，则得a2b2；若有三个选b，余下一个选a，则得ab3；若都选b，则得a0b4. 问题4：分析（a＋b）3，（a＋b）4展开式的特点，猜测（a＋b）n（n∈N*）展开式的特点. 提示：（a＋b）n的展开式共有n＋1项，各项中a，b的指数和都是n. 微梳理 要点　二项式定理 1.二项式定理及其相关概念 二项式定理 （a＋b）n＝an＋an－1b1＋a（n－2）b2＋…＋an－k·bk＋…＋bn（n∈N*） 二项展开式 公式右边的多项式 二项式系数 　（k＝0，1，2，…，n）　 二项展开式的通项 Tk＋1＝　an－kbk　 2.二项展开式的特点 （1）展开式共有n＋1项. （2）各项的次数和都等于二项式的幂指数n. （3）字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n. 思考：（1）二项展开式中的项an－rbr是第几项？ （2）二项式中a，b能否交换位置，二项式（a＋b）n与（b＋a）n展开式中的第r＋1项是否相同？ 提示：（1）an－rbr是（a＋b）n的第r＋1项. （2）二项式中a，b不能交换位置.（a＋b）n展开式中的第r＋1项为an－rbr，（b＋a）n展开式中的第r＋1项为bn－rar，两者是不相同的，所以在应用二项式定理时，a和b不能随便交换位置. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）二项式（a＋b）2n的展开式的项数是2n＋1.（　　） （2）二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的.（　　） （3）（x－1）5的展开式中x4项的系数为－5.（　　） （4）（a＋b）n的展开式中一定有常数项.（　　） 解析：（1）正确.展开式的项数比指数大1. （2）错误.二项展开式中项的系数与二项式系数不一定相等，只有当a，b的系数都为1时两者相等. （3）正确.（x－1）5的展开式中x4项的系数为－5. （4）错误.（a＋b）n的展开式中通项an－rbr的次数不一定为0. 答案：（1）√　（2）×　（3）√　（4）× 关键能力·素养提升 探究一　二项式定理的正用与逆用 【例题1】（1）求的展开式. （2）化简：（x－1）5＋5（x－1）4＋10（x－1）3＋10·（x－1）2＋5（x－1）. 解析：（1）＝（2x）5＋（2x）4x－2＋x－4＋（2x）2x－6＋（2x）x－8＋x－10＝32x5＋80x2＋＋＋＋. （2）原式＝（x－1）5＋（x－1）4＋（x－1）3＋（x－1）2＋（x－1）＋（x－1）0－1＝[（x－1）＋1]5－1＝x5－1. 规律总结 运用二项式定理的解题策略 （1）正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点（即前一个字母是降幂，后一个字母是升幂）.形如（a－b）n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子，先化简，再用二项式定理展开. （2）逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. [注意]逆用二项式定理时，如果项的系数是正负相间的，则原式是（a－b）n的形式. 【变式1】（1