6.2.3～6.2.4 第1课时 组合与组合数（word教参)-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

6.2.3　组　合 6.2.4　组合数 课标解读 学法指导 1.通过实例，理解组合的概念. 2.能利用计数原理推导组合数公式. 1.学会区分“排列问题”和“组合问题”.取出若干元素后，“需要按照一定的顺序排成一列”的是排列问题，“不需要考虑顺序合成一组”的是组合问题. 2.对组合数的两个性质重在会解释，并运用于计算之中. 3.通过学习组合的概念、组合数公式，以及解决有限制条件的组合问题，发展数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 第1课时　组合与组合数 必备知识·基础落实 问题导入 　从1，3，5，7中任取两个数相除或相乘. 问题1：所得商和积的个数相同吗？ 提示：不相同. 问题2：它们是排列吗？ 提示：从1，3，5，7中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列. 问题3：任取两个数相乘如何理解？ 提示：理解为任取两个数组合在一起. 微梳理 要点一　组合 1.定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为　一组　，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2.相同组合：只要两个组合的　元素相同　，不论元素的顺序如何，都是相同的组合. 思考：（1）组合对元素有何要求？ （2）组合是有放回抽取还是无放回抽取？ 提示：（1）组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的. （2）无放回抽取，即从n个不同的元素中进行m次不放回地抽取. 要点二　组合数 定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有　不同组合　的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 表示法 　　 组合数 公式 乘积式 ＝＝　　 阶乘式 ＝　　 性质 ＝，＝＋ 备注 ①n，m∈N*且m≤n，②规定：＝1 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票是组合问题. （　　） （2）3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法是排列问题. （　　） （3）把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法是组合问题. （　　） （4）由于组合数的两个公式都是分式，所以结果不一定是整数. （　　） （5）区别组合与排列的关键是看元素是否与顺序有关. （　　） 解析：（1）错误.因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题. （2）正确.因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，所以是排列问题. （3）正确.因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题. （4）错误.是从n个元素中取m个元素的情况的种数，故一定是正整数. （5）正确.组合与排列的不同之处是组合选出的元素没有顺序，而排列有顺序. 答案：（1）×　（2）√　（3）√　（4）×　（5）√ 关键能力·素养提升 探究一　组合的有关概念 【例题1】判断下列各事件是排列问题还是组合问题. （1）从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？ （2）从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？ （3）10支球队进行单循环赛（每两队比赛一次），共需进行多少场次的比赛？ （4）10支球队进行单循环赛，冠、亚军获得情况共有多少种？ 解析：（1）是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数. （2）是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变. （3）是组合问题，因为每两队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别. （4）是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的情况，是有顺序区别的. 规律总结 判断是否为组合问题的方法 【变式1】（多选）下列说法是组合问题的是（　　） A.由1，2，3，4构成的含3个元素的集合 B.从7名班委中选2人担任班长和团支书 C.从数学组的10名教师中选3人去参加市里的新课程研讨会 D.由1，2，3，4组成无重复数字的两位数 AC　解析：A项中选出的元素构成集合，是组合问题；B项中2人担任班长和团支书，有两种不同的分工，是排列问题；C项中选出的3人去参加研讨会，是组合问题；D项中2个数字组成两位数，有十位和个位的区分，是排列问题.故选AC项. 探究二　组合数的计算公式及其性质 【例题2】（1）计算：－. （2）已知＋＝，求m. 解析：（1）原式＝－＝－7×6×5＝210－210＝0. （2）由已知得×＋×＝×，整理得m2－13m＋22＝0，解得m＝2或m＝11，由题意得0≤m≤4，m∈N*，所以m＝2. 规律总结 （1）组合数公式形式的选择规律 ①公式＝＝，一般用于求值、计算； ②公式＝（n，m∈N*，且m≤n），一般用于化