6.1 第2课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用（word教参)-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第2课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用 关键能力·素养提升 探究一　组数问题 【例题1】已知有0，1，2，3，4五个数字. （1）用这五个数字可以排成多少个三位数？ （2）用这五个数字可以排出多少个三位数字的电话号码？ （3）用这五个数字可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 解析：（1）三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种排法，第二、三位可以排0，因此共有4×5×5＝100（种）排法，所以可以排成100个三位数. （2）三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125（种）排法，所以可以排出125个三位数字的电话号码. （3）被2整除的数是偶数，末位数字可取0，2，4，因此可以分两类：一类是末位数字是0，则有4×3＝12（种）排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因为0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18（种）排法.因而有12＋18＝30（种）排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数. 规律总结 （1）对于组数问题，一般按特殊位置（一般是末位和首位）优先的方法分类或分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解. （2）解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘.排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则. [注意]数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位. 【变式1】（1）用1，3，5，7中的任意一个数作分子，2，4，8，9中的任意一个数作分母，则可构成真分数的个数为（　　） A.8 B.9 C.10 D.11 （2）从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？ ①三位数； ②三位数的偶数. 解析：（1）分四类：①当分子为1时，有，，，，共4个真分数；②当分子为3时，有，，＝，共3个真分数；③当分子为5时，有，，共2个真分数；④当分子为7时，有，，共2个真分数.根据分类加法计数原理，可构成4＋3＋2＋2＝11（个）真分数.故选D项. 答案：D （2）①三位数有三个数位，分别是百位，十位和个位. 故可分三个步骤完成： 第1步，排个位，从1，2，3，4中选1个数字，有4种方法； 第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法； 第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法. 根据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24（个）满足要求的三位数. ②分三个步骤完成： 第1步，排个位，从2，4中选1个，有2种方法； 第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法； 第3步，排百位，从余下的2个数字中选1个，有2种方法. 故共有2×3×2＝12（个）三位数的偶数. 探究二　选（抽）取与分配问题 【例题2】某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人分别参加相应语种的活动，有多少种不同的选法？ 解析：由题意得9人中既会英语又会日语的“多面手”有1人，只会英语的有6人，只会日语的有2人，则可分三类： 第一类，“多面手”去参加英语活动时，选出只会日语的1人即可，有2种选法； 第二类，“多面手”去参加日语活动时，选出只会英语的1人即可，有6种选法； 第三类，“多面手”既不参加英语活动也不参加日语活动，则需从只会日语和只会英语的人中各选1人参加活动，有2×6＝12（种）选法. 故共有2＋6＋12＝20（种）不同的选法. 规律总结 选（抽）取与分配问题的常见类型及其解法 （1）当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法或者图表法. （2）当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： ①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地，若抽取是有顺序的，就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行. ②间接法：先去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可. 【变式2】（1）某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报1人，则这3名学生参赛的不同方法有（　　） A.24种 B.48种 C.64种 D.81种 （2）在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋也会下围棋，现从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？ 解析：（1）由于每班每项限报1人，故当前面的学生选了某项之后，后面的学生不能再报，根据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24（种）不同的参赛方法.故选A项. 答案：A （2）方法一　分四类：第1类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1