6.4.3.1余弦定理课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3-1余弦定理 任务一：余弦定理 【引入】在初中，我们得到过直角三角形中的边、角定量关系.对于一般三角形，我们已经定性地研究过等判定三角形全等的方法.这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的.那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？ 下面我们利用向量方法来研究这个问题. 任务一：余弦定理 【思考1-1】在中，三个角所对的边分别是，，，怎样用，和表示？ 提示：因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的数量积来探究 . 所以. 3 任务一：余弦定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍. 符号表示： 4 任务一：余弦定理 【思考1-2】你还有其他方法证明余弦定理吗？ 建系法： 5 任务一：余弦定理 【思考1-2】你还有其他方法证明余弦定理吗？ 几何法： 6 任务一：余弦定理 【思考1-3】余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎样确定呢？ 余弦定理及其推论把用“”和“”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画. 结 规 律 总 7 𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠 𝐵 𝑐2=𝑎2+𝑏2−2|𝑎||𝑏|𝑐𝑜𝑠 𝐶. 𝑐𝑜𝑠 𝐴=𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝐵=𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝐶=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏 任务一：余弦定理 【思考1-4】通过余弦定理的推论，你能根据边长的关系判断三角形是锐角、钝角还是直角三角形吗？ 锐角 钝角 直角 大边对大角，判断最大角即可确定三角形形状 结 规 律 总 8 𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠 𝐵 𝑐2=𝑎2+𝑏2−2|𝑎||𝑏|𝑐𝑜𝑠 𝐶. 𝑐𝑜𝑠 𝐴=𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝐵=𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝐶=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏 任务一：余弦定理 【思考1-5】勾股定理与余弦定理有何关系？ 勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广. 9 𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠 𝐵 𝑐2=𝑎2+𝑏2−2|𝑎||𝑏|𝑐𝑜𝑠 𝐶. 𝑐𝑜𝑠 𝐴=𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝐵=𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝐶=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏 任务一：余弦定理 【思考1-6】公式的结构特征怎样？ 每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一 解三角形：一般地，三角形的三个角和它们的对边，，叫做三角形的元素.已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形 10 任务二：已知两边及夹角解三角形 【例1】在中，已知，，，求 11 任务二：已知两边及夹角解三角形 【例2】在中，，，锐角满足，求 12 任务三：已知两边及一边的对角解三角形 【例3】设内角，，所对的边分别为，，，若，，，求 解：在中，由余弦定理得： 整理得，，解得：或. 检验或满足题意， 故选：C. 13 任务四：已知三边解三角形 【例4】在中，，，，解三角形。 14 任务五 ：解三角形中的方程思想 【例5】在△ABC中，角A，B ，C所对的边分别为a，b，c，若 ，c=4，a + b=5，求a，b的值. 解 又 任务六 ：判断三角形形状 【例6】在△ABC中，角A，B ，C所对的边分别为a，b，c，若，则△ABC为( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 解： ， 任务六 ：判断三角形形状 【例7】在中，已知，则的形状是（    ） 解：由余弦定理得：， 得：， 整理得：， 即，可得或， 则三角形为等腰三角形或直角三角形. $$